Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Die schönste Lösung gewinnt.

😷 LLAP

[Der Martin]

Moin,

Die schönste Lösung gewinnt.

Ist einfaches Nachschlagen und Einsetzen in einschlägigen Formelsammlungen schön?
Zumindest ist es pragmatisch und zielführend.

Live long and pros healthy,
 Martin

[JürgenB]

Hallo Martin,

Die schönste Lösung gewinnt.

Ist einfaches Nachschlagen und Einsetzen in einschlägigen Formelsammlungen schön?

nicht das Nachschlagen soll schön sein, sondern das Nachgeschlagene 😀

Gruß
Jürgen

[Der Martin]

Hallo,

Die schönste Lösung gewinnt.

Ist einfaches Nachschlagen und Einsetzen in einschlägigen Formelsammlungen schön?

nicht das Nachschlagen soll schön sein, sondern das Nachgeschlagene 😀

okay, ich hatte das auf den Lösungsweg bezogen.
Die Lösung an sich, ein Ausdruck mit Bruch und Wurzel, ist IMO prinzipiell nicht schön.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Ist einfaches Nachschlagen und Einsetzen in einschlägigen Formelsammlungen schön?

Die Schönheit liegt nicht zuletzt im Finden der richtigen Formel in der Sammlung.

nicht das Nachschlagen soll schön sein, sondern das Nachgeschlagene 😀

YMMD.

okay, ich hatte das auf den Lösungsweg bezogen.

Das war auch so gemeint.

Die Lösung an sich, ein Ausdruck mit Bruch und Wurzel, ist IMO prinzipiell nicht schön.

Dann mach sie halt schön!

Spoiler: Ich heb mir da keinen Bruch.

😷 LLAP

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Spoiler: Ich heb mir da keinen Bruch.

Dann hast Du Dich verrechnet oder verwendest Dezimalzahlen.

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Spoiler: Ich heb mir da keinen Bruch.

Dann hast Du Dich verrechnet oder verwendest Dezimalzahlen.

Ich seh weder in meiner Lösung noch in meinem Lösungsweg einen Bruch…

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Spoiler: Ich heb mir da keinen Bruch.

Dann hast Du Dich verrechnet

Ausnahmsweise mal nicht. 🤓

oder verwendest Dezimalzahlen.

Wie üblicherweise auch das nicht.

😷 LLAP

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Die Lösung an sich, ein Ausdruck mit Bruch und Wurzel, ist IMO prinzipiell nicht schön.

Sie lässt sich in einen Ausdruck ohne Bruch umwandeln.

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Hallo Matthias,

Die Lösung an sich, ein Ausdruck mit Bruch und Wurzel, ist IMO prinzipiell nicht schön.

Sie lässt sich in einen Ausdruck ohne Bruch umwandeln.

ja, stimmt. Aber die Wurzel bleibt. Geschmackssache, welcher Ausdruck schöner ist.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Tabellenkalk]

Hallo,

ja, stimmt. Aber die Wurzel bleibt. Geschmackssache, welcher Ausdruck schöner ist.

Aber war das nicht die eigentliche Aufgabe: Wer malt die schönste Wurzel?

Gruß
Kalk

[Tabellenkalk]

Hallo,

Die schönste Lösung gewinnt.

Wenn man eine weitere Linie einzeichnet, kann man durch das entstandene Drachenviereck die Lösung quasi ablesen.

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

uff. Viel schöner geht's wohl nicht.

Die Linie habe ich auch, aber der Drache hatte sich vor mir versteckt.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Die Aufgabe kam von Catriona Agg.

1. Meine erste Eingebung war diese:

   

   Wegen MP ⊥ BC (Radius und Tangente) ist △ABM ≅ △PBM (nach SSW) und damit PB = AB = 1.

   △MPC ist gleichschenklig-rechtwinklig (Winkel 45° und 90°). Folglich r = MP = CP = BC − PB = √2 − 1.

   Das meinte auch Tabellenkalk. Auch @ottogal (leicht abgewandelt) und @Matthias Apsel hatten diese Lösung eingesandt.

   ---

2. Dann hatte ich gespiegelt:

   

   MP ⊥ BC wie gehabt. MPCQ ist ein Rechteck, wegen der Symmetrie ein Quadrat. Damit ist MC = r √2.

   (Die Spiegelung braucht man gar nicht; dasselbe ergibt sich auch aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.)

   1 = AC = AM + MC = r + r √2
   r = 1/(1 + √2) = √2 − 1

   ---

3. Dann hab ich in der Wikipedia diese Formel gefunden: Inkreisradius r = 2A / u

   

   r = 2A / u
   r = 2 / (2√2 + 2) = √2 − 1

   ---

4. @Matthias Apsel holte Fundstücke hervor, die ich noch gar nicht kannte:

   

   Der Satz von Euler besagt über die Entfernung d der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks: d² = R(R − 2r)

   Mit d = r und R = 1 erhält man r² = 1 − 2r; r = √2 − 1

   ---

5. Und noch eins:

   

   Der Satz von Carnot besagt, dass die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten gleich der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius ist.

   ½√2 + ½√2 + 0 = R + r, das heißt √2 = 1 + r; r = √2 − 1

   ---

6. Und dann holte er noch Winkelfunktionen hervor:

   

   Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, d.h. ∡ABM = 22.5°.

   tan 22.5° = AM / AB = r / 1. In irgendeiner Sammlung findet man dann auch tan 22.5° = √2 − 1

   Das würde ich aber nicht zur Allgemeinbildung zählen. Man kann das aber aus tan 2ϕ = 2 tan ϕ / (1 − tan²ϕ) herleiten: 1 = 2r / (1 − r²) hat als Lösung r = √2 − 1

   ---

7. Die letzte Lösung hab ich (leicht abgewandelt) von Twitter. Schauen wir nochmal auf die Skizze:

   

   Die Fläche von △ABC beträgt ½. Sie setzt sich zusammen aus zwei Dreiecken der Fläche ½r und einem Dreieck der Fläche ½r² (siehe 1.)

   r + ½r² = ½; r = √2 − 1

---

Die schönste Lösung gewinnt.

Schönheit liegt im Auge des Betrachters. Wollen wir abstimmen?

😷 LLAP

[Der Martin]

Hallo Gunnar,

2. Dann hatte ich gespiegelt:

das war auch mein erster Gedanke.
Und dann suche ich den Inkreisradius eines gleichschenkligen Dreiecks.

3. Dann hab ich in der Wikipedia diese Formel gefunden: Inkreisradius r = 2A / u

   

   r = 2A / u
   r = 2 / (2√2 + 2) = √2 − 1

Genau das war mein Lösungsvorschlag. Aber du wolltest ja eine "schöne" Lösung.
Ich fand den Ausdruck mit der Wurzel aber überhaupt nicht schön.

Die schönste Lösung gewinnt.

Schönheit liegt im Auge des Betrachters. Wollen wir abstimmen?

Meinetwegen. 😀

Live long and pros healthy,
 Martin

[michaah]

Das ist ja ein rechtwinkliges Dreieck (das gespiegelte mit dem Vollkreis). Hier gilt für Inkreise:

r = a + b - c ; wobei c die Hypotenuse ist;

Dann lautet die Rechnung:

r = (wurzel2 + wurzel2 - 2) / 2;

r = (2 (wurzel2 -1)) / 2;

r = wurzel2 - 1;

Ob das schön ist ... es geht so.

Wenn ich mir das allerdings anschaue wie der Winkelschlag mit r = 1 die Strecke "wurzel2" zu r(inkreis) und "1" teilt, dann das ist das doch recht schön.

[Matthias Apsel]

Hallo michaah,

r = a + b - c ; wobei c die Hypotenuse ist;

× ½

Ja, folgt aus r = 2A / u

In diesem besonderen Fall ist (a + b + c)(a + b - c) = 2ab.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Ich fand den Ausdruck mit der Wurzel aber überhaupt nicht schön.

Wähle die Zahlen so, dass sich ein ganzzahliges Ergebnis ergibt.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Ich fand den Ausdruck mit der Wurzel aber überhaupt nicht schön.

Wähle die Zahlen so, dass sich ein ganzzahliges Ergebnis ergibt.

Dann ist aber die Aufgabe nicht schön.

😷 LLAP

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Dann ist aber die Aufgabe nicht schön.

Und viele Lösungswege scheitern.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Nr. 7 – 3 Punkte
Nr. 5 – 2 Punkte
Nr. 1 – 1 Punkt

Bis demnächst
Matthias