Gunnar Bittersmann: Mathematik zum Wochenende

Gleichschenklig-rechtwinliges Dreieck, Seitenlängen 1–1–√2, Halbkreis mit Mittelpunkt auf einer der Katheten geht durch Scheitelpunkt des Dreiecks und berührt Hypotenuse in einem Punkt. Wie groß ist der Radius?

Die schönste Lösung gewinnt.

😷 LLAP

--
Wenn der Faschismus wiederkehrt, wird er nicht sagen: „Hallo, ich bin der Faschismus.“ Er wird sagen: „Hört auf zu zählen! Ich habe gewonnen!“
  1. Moin,

    Gleichschenklig-rechtwinliges Dreieck, Seitenlängen 1–1–√2, Halbkreis mit Mittelpunkt auf einer der Katheten geht durch Scheitelpunkt des Dreiecks und berührt Hypotenuse in einem Punkt. Wie groß ist der Radius?

    Die schönste Lösung gewinnt.

    Ist einfaches Nachschlagen und Einsetzen in einschlägigen Formelsammlungen schön?
    Zumindest ist es pragmatisch und zielführend.

    Live long and pros healthy,
     Martin

    --
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    1. Hallo Martin,

      Die schönste Lösung gewinnt.

      Ist einfaches Nachschlagen und Einsetzen in einschlägigen Formelsammlungen schön?

      nicht das Nachschlagen soll schön sein, sondern das Nachgeschlagene 😀

      Gruß
      Jürgen

      1. Hallo,

        Die schönste Lösung gewinnt.

        Ist einfaches Nachschlagen und Einsetzen in einschlägigen Formelsammlungen schön?

        nicht das Nachschlagen soll schön sein, sondern das Nachgeschlagene 😀

        okay, ich hatte das auf den Lösungsweg bezogen.
        Die Lösung an sich, ein Ausdruck mit Bruch und Wurzel, ist IMO prinzipiell nicht schön.

        Live long and pros healthy,
         Martin

        --
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        1. @@Der Martin

          Ist einfaches Nachschlagen und Einsetzen in einschlägigen Formelsammlungen schön?

          Die Schönheit liegt nicht zuletzt im Finden der richtigen Formel in der Sammlung.

          nicht das Nachschlagen soll schön sein, sondern das Nachgeschlagene 😀

          YMMD.

          okay, ich hatte das auf den Lösungsweg bezogen.

          Das war auch so gemeint.

          Die Lösung an sich, ein Ausdruck mit Bruch und Wurzel, ist IMO prinzipiell nicht schön.

          Dann mach sie halt schön!

          Spoiler: Ich heb mir da keinen Bruch.

          😷 LLAP

          --
          Wenn der Faschismus wiederkehrt, wird er nicht sagen: „Hallo, ich bin der Faschismus.“ Er wird sagen: „Hört auf zu zählen! Ich habe gewonnen!“
          1. Hallo Gunnar,

            Spoiler: Ich heb mir da keinen Bruch.

            Dann hast Du Dich verrechnet oder verwendest Dezimalzahlen.

            Rolf

            --
            sumpsi - posui - obstruxi
            1. Hallo,

              Spoiler: Ich heb mir da keinen Bruch.

              Dann hast Du Dich verrechnet oder verwendest Dezimalzahlen.

              Ich seh weder in meiner Lösung noch in meinem Lösungsweg einen Bruch…

              Gruß
              Kalk

            2. @@Rolf B

              Spoiler: Ich heb mir da keinen Bruch.

              Dann hast Du Dich verrechnet

              Ausnahmsweise mal nicht. 🤓

              oder verwendest Dezimalzahlen.

              Wie üblicherweise auch das nicht.

              😷 LLAP

              --
              Wenn der Faschismus wiederkehrt, wird er nicht sagen: „Hallo, ich bin der Faschismus.“ Er wird sagen: „Hört auf zu zählen! Ich habe gewonnen!“
        2. Hallo Der Martin,

          Die Lösung an sich, ein Ausdruck mit Bruch und Wurzel, ist IMO prinzipiell nicht schön.

          Sie lässt sich in einen Ausdruck ohne Bruch umwandeln.

          Bis demnächst
          Matthias

          --
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          1. Hallo Matthias,

            Die Lösung an sich, ein Ausdruck mit Bruch und Wurzel, ist IMO prinzipiell nicht schön.

            Sie lässt sich in einen Ausdruck ohne Bruch umwandeln.

            ja, stimmt. Aber die Wurzel bleibt. Geschmackssache, welcher Ausdruck schöner ist.

            Live long and pros healthy,
             Martin

            --
            Keyboard error or no keyboard present. Press F1 to continue.
            1. Hallo,

              ja, stimmt. Aber die Wurzel bleibt. Geschmackssache, welcher Ausdruck schöner ist.

              Aber war das nicht die eigentliche Aufgabe: Wer malt die schönste Wurzel?

              Gruß
              Kalk

  2. Hallo,

    Die schönste Lösung gewinnt.

    Wenn man eine weitere Linie einzeichnet, kann man durch das entstandene Drachenviereck die Lösung quasi ablesen.

    Gruß
    Kalk

    1. Hallo Tabellenkalk,

      uff. Viel schöner geht's wohl nicht.

      Die Linie habe ich auch, aber der Drache hatte sich vor mir versteckt.

      Rolf

      --
      sumpsi - posui - obstruxi
  3. @@Gunnar Bittersmann

    Die Aufgabe kam von Catriona Agg.

    1. Meine erste Eingebung war diese:

      Wegen MP ⊥ BC (Radius und Tangente) ist △ABM ≅ △PBM (nach SSW) und damit PB = AB = 1.

      MPC ist gleichschenklig-rechtwinklig (Winkel 45° und 90°). Folglich r = MP = CP = BC − PB = √2 − 1.

      Das meinte auch Tabellenkalk. Auch @ottogal (leicht abgewandelt) und @Matthias Apsel hatten diese Lösung eingesandt.


    2. Dann hatte ich gespiegelt:

      MP ⊥ BC wie gehabt. MPCQ ist ein Rechteck, wegen der Symmetrie ein Quadrat. Damit ist MC = r √2.

      (Die Spiegelung braucht man gar nicht; dasselbe ergibt sich auch aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.)

      1 = AC = AM + MC = r + r √2
      r = 1/(1 + √2) = √2 − 1


    3. Dann hab ich in der Wikipedia diese Formel gefunden: Inkreisradius r = 2A / u

      r = 2A / u
      r = 2 / (2√2 + 2) = √2 − 1


    4. @Matthias Apsel holte Fundstücke hervor, die ich noch gar nicht kannte:

      Der Satz von Euler besagt über die Entfernung d der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks: d² = R(R − 2r)

      Mit d = r und R = 1 erhält man r² = 1 − 2r; r = √2 − 1


    5. Und noch eins:

      Der Satz von Carnot besagt, dass die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten gleich der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius ist.

      ½√2 + ½√2 + 0 = R + r, das heißt √2 = 1 + r; r = √2 − 1


    6. Und dann holte er noch Winkelfunktionen hervor:

      Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, d.h. ∡ABM = 22.5°.

      tan 22.5° = AM / AB = r / 1. In irgendeiner Sammlung findet man dann auch tan 22.5° = √2 − 1

      Das würde ich aber nicht zur Allgemeinbildung zählen. Man kann das aber aus tan 2ϕ = 2 tan ϕ / (1 − tan²ϕ) herleiten: 1 = 2r / (1 − r²) hat als Lösung r = √2 − 1


    7. Die letzte Lösung hab ich (leicht abgewandelt) von Twitter. Schauen wir nochmal auf die Skizze:

      Die Fläche von △ABC beträgt ½. Sie setzt sich zusammen aus zwei Dreiecken der Fläche ½r und einem Dreieck der Fläche ½r² (siehe 1.)

      r + ½r² = ½; r = √2 − 1


    Die schönste Lösung gewinnt.

    Schönheit liegt im Auge des Betrachters. Wollen wir abstimmen?

    😷 LLAP

    --
    Wenn der Faschismus wiederkehrt, wird er nicht sagen: „Hallo, ich bin der Faschismus.“ Er wird sagen: „Hört auf zu zählen! Ich habe gewonnen!“
    1. Hallo Gunnar,

      1. Dann hatte ich gespiegelt:

      das war auch mein erster Gedanke.
      Und dann suche ich den Inkreisradius eines gleichschenkligen Dreiecks.

      1. Dann hab ich in der Wikipedia diese Formel gefunden: Inkreisradius r = 2A / u

        r = 2A / u
        r = 2 / (2√2 + 2) = √2 − 1

      Genau das war mein Lösungsvorschlag. Aber du wolltest ja eine "schöne" Lösung.
      Ich fand den Ausdruck mit der Wurzel aber überhaupt nicht schön.

      Die schönste Lösung gewinnt.

      Schönheit liegt im Auge des Betrachters. Wollen wir abstimmen?

      Meinetwegen. 😀

      Live long and pros healthy,
       Martin

      --
      Versuchungen sollte man nachgeben. Wer weiß, ob sie wiederkommen.
      1. Das ist ja ein rechtwinkliges Dreieck (das gespiegelte mit dem Vollkreis). Hier gilt für Inkreise:

        r = a + b - c ; wobei c die Hypotenuse ist;

        Dann lautet die Rechnung:

        r = (wurzel2 + wurzel2 - 2) / 2;

        r = (2 (wurzel2 -1)) / 2;

        r = wurzel2 - 1;

        Ob das schön ist ... es geht so.

        Wenn ich mir das allerdings anschaue wie der Winkelschlag mit r = 1 die Strecke "wurzel2" zu r(inkreis) und "1" teilt, dann das ist das doch recht schön.

        1. Hallo michaah,

          r = a + b - c ; wobei c die Hypotenuse ist;

          × ½

          Ja, folgt aus r = 2A / u

          In diesem besonderen Fall ist (a + b + c)(a + b - c) = 2ab.

          Bis demnächst
          Matthias

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      2. Hallo Der Martin,

        Ich fand den Ausdruck mit der Wurzel aber überhaupt nicht schön.

        Wähle die Zahlen so, dass sich ein ganzzahliges Ergebnis ergibt.

        Bis demnächst
        Matthias

        --
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        1. @@Matthias Apsel

          Ich fand den Ausdruck mit der Wurzel aber überhaupt nicht schön.

          Wähle die Zahlen so, dass sich ein ganzzahliges Ergebnis ergibt.

          Dann ist aber die Aufgabe nicht schön.

          😷 LLAP

          --
          Wenn der Faschismus wiederkehrt, wird er nicht sagen: „Hallo, ich bin der Faschismus.“ Er wird sagen: „Hört auf zu zählen! Ich habe gewonnen!“
          1. Hallo Gunnar Bittersmann,

            Dann ist aber die Aufgabe nicht schön.

            Und viele Lösungswege scheitern.

            Bis demnächst
            Matthias

            --
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      3. Hallo Der Martin,

        Nr. 7 – 3 Punkte
        Nr. 5 – 2 Punkte
        Nr. 1 – 1 Punkt

        Bis demnächst
        Matthias

        --
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