Hallo Matthias Apsel, > [](/images/4a3f7f6a-21a6-11eb-aa09-b42e9947ef30.png) > > Der schwierigste Aufgabentyp ist dabei, die drei äußeren Zahlen vorzugeben. > > a) Zeige, dass alle Aufgaben dieses Typs eindeutig lösbar sind. > > b) Bestimme die Lösung. Ich kopiere einfach die Lösung von @Rolf B wenn man die inneren Felder p,q,r benennt (beginnend oben, im Uhrzeigersinn) und die äußeren Felder a,b,c (beginnend bei p+q, gegen den Uhrzeigersinn), dann bekommt man ein Gleichungssystem: ~~~ p + q = a p + r = b q + r = c ~~~ Es mir hier zu mühsam, mit Latex alle nötigen Matrizen zu setzen. Man kann es jedenfalls diagonalisieren, oder mit Cramer die Lösung mit Determinanten finden. Nennerdeterminante ist -2, Zählerdeterminanten sind für p: c-a-b, für q: b-a-c, für r: a-b-c Also gibt es grundsätzlich, egal wie a,b,c lauten, eine existierende, eindeutige Lösung in $$\mathbb Q$$: $$\displaystyle p=\frac{a+b-c}{2}, \quad q=\frac{a+c-b}{2}, \quad r=\frac{b+c-a}{2}$$ Lösungsweg für die Schülerinnen und Schüler: Addiere die beiden anliegenden Zahlen, subtrahiere die dritte und halbiere das Ergebnis. > c) Benenne (möglichst wenige) Kriterien für die äußeren Zahlen, damit alle Zahlen natürliche Zahlen (ohne Null) sind. * Die Summe muss gerade sein. (Ergibt sich auch aus der Tatsache, dass die Außensumme das Doppelte der Innensumme ist.) * Die Zahlen müssen die Dreiecksungleichung erfüllen. (Der Lehrkraft würde man vielleicht sagen: Die Summe der kleineren Zahlen muss größer als die dritte sein und die Zahlen dürfen sich nicht zu sehr unterscheiden.) Korrekte Lösungen kamen von @Gunnar Bittersmann, @Rolf B und @herrmann. Bis demnächst Matthias -- Du kannst das Projekt SELFHTML unterstützen, indem du bei Amazon-Einkäufen [Amazon smile](https://smile.amazon.de/ch/314-570-45498) ([Was ist das?](https://www.amazon.de/gp/help/customer/display.html?ie=UTF8&nodeId=202035970])) nutzt.

Hallo Matthias Apsel, > [](/images/4a3f7f6a-21a6-11eb-aa09-b42e9947ef30.png) > > Der schwierigste Aufgabentyp ist dabei, die drei äußeren Zahlen vorzugeben. > > a) Zeige, dass alle Aufgaben dieses Typs eindeutig lösbar sind. > > b) Bestimme die Lösung. Ich kopiere einfach die Lösung von @Rolf B wenn man die inneren Felder p,q,r benennt (beginnend oben, im Uhrzeigersinn) und die äußeren Felder a,b,c (beginnend bei p+q, gegen den Uhrzeigersinn), dann bekommt man ein Gleichungssystem: ~~~ p + q = a p + r = b q + r = c ~~~ Es mir hier zu mühsam, mit Latex alle nötigen Matrizen zu setzen. Man kann es jedenfalls diagonalisieren, oder mit Cramer die Lösung mit Determinanten finden. Nennerdeterminante ist -2, Zählerdeterminanten sind für p: c-a-b, für q: b-a-c, für r: a-b-c Also gibt es grundsätzlich, egal wie a,b,c lauten, eine existierende, eindeutige Lösung in $$\mathbb Q$$: $$\displaystyle p=\frac{a+b-c}{2}, \quad q=\frac{a+c-b}{2}, \quad r=\frac{b+c-a}{2}$$ Lösungsweg für die Schülerinnen und Schüler: Addiere die beiden anliegenden Zahlen, subtrahiere die dritte und halbiere das Ergebnis. > c) Benenne (möglichst wenige) Kriterien für die äußeren Zahlen, damit alle Zahlen natürliche Zahlen (ohne Null) sind. * Die Summe muss gerade sein. (Ergibt sich auch aus der Tatsache, dass die Außensumme das Doppelte der Innensumme ist.) * Die Zahlen müssen die Dreiecksungleichung erfüllen. (Der Lehrkraft würde man vielleicht sagen: Die Summe der kleineren Zahlen muss größer als die dritte sein und die Zahlen dürfen sich nicht zu sehr unterscheiden.) Bis demnächst Matthias -- Du kannst das Projekt SELFHTML unterstützen, indem du bei Amazon-Einkäufen [Amazon smile](https://smile.amazon.de/ch/314-570-45498) ([Was ist das?](https://www.amazon.de/gp/help/customer/display.html?ie=UTF8&nodeId=202035970])) nutzt.