Primarstufenmathematik zum Wochenende, -anfang und darüber hinaus

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

es gibt sogenannte Rechendreiecke, um mit Schülerinnen und Schülern Addition und Subtraktion zu üben (3 innere Zahlen, 3 äußere Zahlen, die Summe zweier innerer Zahlen ergibt die entsprechende äußere Zahl).

Der schwierigste Aufgabentyp ist dabei, die drei äußeren Zahlen vorzugeben.

a) Zeige, dass alle Aufgaben dieses Typs eindeutig lösbar sind.

b) Bestimme die Lösung.

c) Benenne (möglichst wenige) Kriterien für die äußeren Zahlen, damit alle Zahlen natürliche Zahlen (ohne Null) sind.

Bis demnächst
Matthias

[Friedel]

Der schwierigste Aufgabentyp ist dabei, die drei äußeren Zahlen vorzugeben.

a) Zeige, dass alle Aufgaben dieses Typs eindeutig lösbar sind.

??? Es ist doch trivial, zu zeigen, dass sie nicht alle lösbar sind. Sobald außen eine 1 erscheint, geht nichts mehr.

[Rolf B]

Hallo Friedel,

erst Teil c verlangt, ein Kriterium zu finden, dass alle inneren Zahlen natürlich und positiv sind.

Ohne diese Forderung ist es zur Lösbarkeit auch gültig, innen z.B. ein $$-\frac{1}{2}$$ hinzuschreiben. Zumindest habe ich das so verstanden. Die folgende Aufgabe ist lösbar.

x = 5,5 / y = 4,5 / z = -3,5

Natürlich löst das kein Primarstufenschüler. Für diese braucht es - meine ich - zwei Kriterien (oder 4, je nach Zählweise), um eine primarfreundliche Aufgabe zu erhalten.

Aber damit hast Du mir nun ein <i> verkauft 😲

Natürlich sieht man sofort, dass die Aufgabe nicht primar-lösbar ist, wenn außen irgenwo eine 1 steht. Wenn x, y natürlich und positiv sein sollen, ist x+y mindestens 2. Aber die Kriterien, die ich eingeschickt habe, sehen anders aus. Meine Herausforderung ist jetzt, unter Anwendung dieser Kriterien zu zeigen, dass dann eine Lösung nicht möglich ist 🤔.

Edit: Ah, puh, geschafft.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

Meine Herausforderung ist jetzt, unter Anwendung dieser Kriterien zu zeigen, dass dann eine Lösung nicht möglich ist 🤔.

Ich denke, dass das nicht notwendig ist. Weil es sich immer um genau-dann-wenn-Aussagen handelt. (?)

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Der schwierigste Aufgabentyp ist dabei, die drei äußeren Zahlen vorzugeben.

a) Zeige, dass alle Aufgaben dieses Typs eindeutig lösbar sind.

b) Bestimme die Lösung.

Ich kopiere einfach die Lösung von @Rolf B

wenn man die inneren Felder p,q,r benennt (beginnend oben, im Uhrzeigersinn) und die äußeren Felder a,b,c (beginnend bei p+q, gegen den Uhrzeigersinn), dann bekommt man ein Gleichungssystem:

p + q     = a
p     + r = b
    q + r = c

Es mir hier zu mühsam, mit Latex alle nötigen Matrizen zu setzen. Man kann es jedenfalls diagonalisieren, oder mit Cramer die Lösung mit Determinanten finden.

Nennerdeterminante ist -2, Zählerdeterminanten sind für p: c-a-b, für q: b-a-c, für r: a-b-c

Also gibt es grundsätzlich, egal wie a,b,c lauten, eine existierende, eindeutige Lösung in $$\mathbb Q$$:

$$\displaystyle p=\frac{a+b-c}{2}, \quad q=\frac{a+c-b}{2}, \quad r=\frac{b+c-a}{2}$$

Lösungsweg für die Schülerinnen und Schüler: Addiere die beiden anliegenden Zahlen, subtrahiere die dritte und halbiere das Ergebnis.

c) Benenne (möglichst wenige) Kriterien für die äußeren Zahlen, damit alle Zahlen natürliche Zahlen (ohne Null) sind.

• Die Summe muss gerade sein. (Ergibt sich auch aus der Tatsache, dass die Außensumme das Doppelte der Innensumme ist.)
• Die Zahlen müssen die Dreiecksungleichung erfüllen. (Der Lehrkraft würde man vielleicht sagen: Die Summe der kleineren Zahlen muss größer als die dritte sein und die Zahlen dürfen sich nicht zu sehr unterscheiden.)

Korrekte Lösungen kamen von @Gunnar Bittersmann, @Rolf B und @herrmann.

Bis demnächst
Matthias