Pyramide und Kugeln

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

dann komm ich mal um die Ecke.

Gegeben ist eine reguläre vierseitige Pyramide. Jede Seitenfläche schließt mit der Grundfläche einen Winkel von 60° ein. In diese Pyramide werden zwei Kugeln so einbeschrieben, dass eine Kugel alle fünf Flächen der Pyramide, die zweite die vier Seitenflächen und die erste Kugel berührt.

a) Ermittle das Verhältnis der Volumina der beiden Kugeln.
b) Ermittle die Größe des Winkels zwischen Seiten- und Grundfläche, sodass die beiden Kugeln zusammen das halbe Volumen der Pyramide einnehmen.

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Hallo,

Gegeben ist eine reguläre vierseitige Pyramide. Jede Seitenfläche schließt mit der Grundfläche einen Winkel von 60° ein. In diese Pyramide werden zwei Kugeln so einbeschrieben, dass eine Kugel alle fünf Flächen der Pyramide, die zweite die vier Seitenflächen und die erste Kugel berührt.

a) Ermittle das Verhältnis der Volumina der beiden Kugeln.

bis hierher ist es trivial, finde ich. Der richtige Blickwinkel, dann ein paar Grundformeln für gleichseitige Dreiecke. Aufpassen: Es ist nicht das Verhältnis der Radien gefragt, sondern der Volumina! Also das ganze hoch drei.

b) Ermittle die Größe des Winkels zwischen Seiten- und Grundfläche, sodass die beiden Kugeln zusammen das halbe Volumen der Pyramide einnehmen.

Da habe ich momentan noch nicht den richtigen Ansatz. Oder besser gesagt: Den Ansatz hätte ich schon, aber das artet in eine umständliche Rechnerei aus, die mir "nur zum Spaß" meine Zeit nicht wert ist.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

b) Ermittle die Größe des Winkels zwischen Seiten- und Grundfläche, sodass die beiden Kugeln zusammen das halbe Volumen der Pyramide einnehmen.

Da habe ich momentan noch nicht den richtigen Ansatz. Oder besser gesagt: Den Ansatz hätte ich schon, aber das artet in eine umständliche Rechnerei aus, die mir "nur zum Spaß" meine Zeit nicht wert ist.

Ja, der Gunnar schrieb Ähnliches und ich habe mich auch schon gequält. Ursprünglich war die Pyramide ein Kegel und nach den Radien der Berührungskreise gesucht.

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Hallo,

b) Ermittle die Größe des Winkels zwischen Seiten- und Grundfläche, sodass die beiden Kugeln zusammen das halbe Volumen der Pyramide einnehmen.

Da habe ich momentan noch nicht den richtigen Ansatz. Oder besser gesagt: Den Ansatz hätte ich schon, aber das artet in eine umständliche Rechnerei aus, die mir "nur zum Spaß" meine Zeit nicht wert ist.

Ja, der Gunnar schrieb Ähnliches und ich habe mich auch schon gequält. Ursprünglich war die Pyramide ein Kegel und nach den Radien der Berührungskreise gesucht.

das hätte zumindest an Teil a) nichts geändert. Bei der Pyramide habe ich eine der zwei Schnittebenen betrachtet, bei denen die Schnittfläche ein gleichseitiges Dreieck ist. Das hätte beim Kegel genauso funktioniert - nur dass sich hier, wie du schon sagst, wegen der Rotationssymmetrie je Kugel ein Berührungskreis ergibt anstatt nur vier Berührungspunkte.
Die Volumenverhältnisse der Kugel(n) zur Pyramide bzw. zum Kegel wären aber unterschiedlich.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Rolf B]

Hallo Martin,

Die Volumenverhältnisse der Kugel(n) zur Pyramide bzw. zum Kegel wären aber unterschiedlich.

D.h. eine Pyramide mit Kantenlänge a ist voluminöser als ein Kegel mit Durchmesser a. Für eine Pyramide ist das Kugelvolumen durchweg zu klein.

Für einen Kegel ist die Lösung ein Winkel zwischen Grundfläche und Mantel von ca 63,6°. Das habe ich mit Excel approximiert - nachdem ich das gerade für die Pyramide durchgerechnet und für die Post an Matthias mit Latex formatiert habe, habe ich keine Lust mehr. Und ich weiß ja auch, was mir blüht, wenn ich das algebraisch lösen will, ohne Onkel Wolfram komme ich da eh nicht durch.

Rolf

[Der Martin]

Hallo Rolf,

Die Volumenverhältnisse der Kugel(n) zur Pyramide bzw. zum Kegel wären aber unterschiedlich.

D.h. eine Pyramide mit Kantenlänge a ist voluminöser als ein Kegel mit Durchmesser a. Für eine Pyramide ist das Kugelvolumen durchweg zu klein.

das sagte mir auch schon mein Bauchgefühl, weil einfach in den Kanten und Ecken viel Volumen schlummert, das man mit der Kugel nicht ausfüllen könnte.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Rolf B]

Hallo Matthias,

Teil a ist ja eigentlich trivial.

Teil b, tja, ich hab da ein Rechenblatt mit Excel gemacht und Winkel durchprobiert - das scheint nicht zu gehen, außer für den trivialen Fall (Winkel ist 0, Volumen von Pyramide und Kugeln ist 0). Sollte es gehen? Habe ich einen blöden Fehler drin?

Update: algebraisch bin ich jetzt auch durch - keine reelle Lösung gefunden. Bin gespannt, ob und wie ich Mist gebaut habe.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias alle, –

a) Ermittle das Verhältnis der Volumina der beiden Kugeln.

Lösung von @Tabellenkalk:

Statt der Pyramide in 3D betrachte ich ein gleichseitiges Dreieck mit zwei entsprechend einbeschreiebenen Kreisen. Das entspricht einem halbierenden Schnitt durch die Pyramide parallel zu einer Grundkante.

Dem Dreieck kann man die Ecken so umklappen, dass sich die Spitzen im Mittelpunkt berühren und man erhält ein gleichseitiges Sechseck. Der große Kreis berührt nun alle 6 Seiten und der kleine Kreis war genau einer umgeklappten Ecke einbeschrieben.

Nun sieht man, dass sich die Radien wie 3:1 verhalten müssen und in 3D folgt daraus ein Verhältnis der Volumina von 27:1.

b) Ermittle die Größe des Winkels zwischen Seiten- und Grundfläche, sodass die beiden Kugeln zusammen das halbe Volumen der Pyramide einnehmen.

Lösung von @Rolf B:

guckst Du hier für ein Bild.

Es ist ein Querschnitt entlang der Mittelsenkrechten durch eine der Seitenkanten. Die halbe Kantenlänge sei k (weil ich nachher ständig mit damit hantieren muss), der Winkel zwischen Grund- und Seitenfläche ist $$\alpha$$.

Die Höhe der Pyramide ist $$h = k \tan\alpha$$

Das Querschnittsdreieck ist gleichschenklig und bei α=60° auch gleichseitig.

Der Radius der unteren Kugel ist der Inkreisradius des Querschnittsdreiecks (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, der liegt auf h weil das Dreieck gleichschenklig ist), also $$r_1 = k\tan{\frac{\alpha}{2}}$$.

Der Radius der oberen Kugel hängt von der Länge der Strecke g ab. Hier kann ich eine Ähnlichkeitsbeziehung anwenden (Strahlensatz):

$$\displaystyle \frac{g}{h-2r_1} = \frac{k}{h}$$

Die Dreiecke AED und GFH sind ähnlich (2 gleiche Winkel), daher ist $$\frac{r_2}{r_1}=\frac{g}{k}$$ und damit

$$\displaystyle \frac{r_2}{r_1}=\frac{h-2r_1}{h} = 1-\frac{2r_1}{h} =1-\frac{2k\tan{\frac{\alpha}{2}}}{k \tan \alpha}$$

Sieht gruselig aus, aber es gibt ja den Halbwinkelsatz für den Tangens.

$$\tan\alpha = \tan{2\frac{\alpha}{2}} = \frac{2 \tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$. Wenn man das oben einsetzt und etwas herumrechnet (das latexe ich jetzt nicht zusammen), kommt man auf $$\frac{r_2}{r_1}=\tan^2{\frac{\alpha}{2}}$$. Schick!

Für einen Winkel von 60° ergibt das $$\frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{3}$$, und damit ein Verhältnis von 1:27 für die Kugelradien. Teilaufgabe (a) erledigt. Mit elementarer Geometrie kommt man da viel einfacher und fixer hin, aber ich brauche dieses Verhältnis für Teilaufgabe (b) sowieso und die geometrische Rechnung ist eine gute Prüfung dafür, dass die Herleitung soweit stimmt.

Die Kugelvolumina verhalten sich also $$\frac{K_2}{K_1}=\tan^6{\frac{\alpha}{2}}$$. Gar nicht schick 🤯. Und um nicht auszurasten, substituiere ich nun erstmal $$\tan{\frac{\alpha}{2}} = t$$. Damit wird $$r_1$$ zu $$kt$$.

Die Summe der Volumnia ist $$K = K_1(1+t^6) = \frac{4}{3}\pi r_1^3(1+t^6) = \frac{4}{3}\pi k^3 t^3 (1+t^6)$$.

Das ist gleichzusetzen mit dem halben Pyramidenvolumen. Das ganze Volumen ist Grundfläche mal Höhe durch 3, also $$P=\frac{1}{3}\cdot 4k^2\cdot k\tan \alpha = \frac{4}{3}k^3 \frac{2t}{1-t^2}$$.

Letzteres durch erneute Anwendung des Halbwinkelsatzes und Einsetzen von von t für $$\tan{\frac{\alpha}{2}}$$. Nun muss ich K und die Hälfte von P gleichsetzen:

$$\frac{4}{3}\pi k^3 t^3 (1+t^6) = \frac{1}{2}\frac{4}{3}k^3 \frac{2t}{1-t^2}$$

$$\Longleftrightarrow \pi t^3 (1+t^6) = \frac{2t}{1-t^2}$$

$$\Longleftrightarrow \pi (t^2 + t^8) = \frac{2}{1-t^2}$$

$$\Longleftrightarrow (t^2 + t^8)(1 - t^2) = \frac{2}{\pi}$$

$$\Longleftrightarrow t^2 + t^8 - t^4 - t^{10} = \frac{2}{\pi}$$

Dieses Polynom kann ich numerisch betrachten, oder ich kann es Wolfram Alpha vorwerfen. In beiden Fällen lautet das Ergebnis: es gibt keine reelle Lösung. Wolfram findet 10 imaginäre Lösungen.

Teilaufgabe (b) ist damit nicht lösbar. Oder ich habe mich böse verrechnet 😀

Außerdem hat auch @Gunnar Bittersmann eine Lösung für a) eingereicht.

Bis demnächst
Matthias

[Der Martin]

Hallo,

a) Ermittle das Verhältnis der Volumina der beiden Kugeln.

Lösung von @Tabellenkalk:

Statt der Pyramide in 3D betrachte ich ein gleichseitiges Dreieck mit zwei entsprechend einbeschreiebenen Kreisen. Das entspricht einem halbierenden Schnitt durch die Pyramide parallel zu einer Grundkante.

Dem Dreieck kann man die Ecken so umklappen, dass sich die Spitzen im Mittelpunkt berühren und man erhält ein gleichseitiges Sechseck. Der große Kreis berührt nun alle 6 Seiten und der kleine Kreis war genau einer umgeklappten Ecke einbeschrieben.

Nun sieht man, dass sich die Radien wie 3:1 verhalten müssen und in 3D folgt daraus ein Verhältnis der Volumina von 27:1.

das Ergebnis hatte ich auch - allerdings habe ich nichts umgeklappt, sondern einfach den Inkreisradius und die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks (Formelsammlung) ins Verhältnis gesetzt.

Außerdem hat auch @Gunnar Bittersmann eine Lösung für a) eingereicht.

Mit einer abweichenden Herleitung?

Live long and pros healthy,
 Martin

[Matthias Apsel]

Hallo Der Martin,

Außerdem hat auch @Gunnar Bittersmann eine Lösung für a) eingereicht.

Mit einer abweichenden Herleitung?

Ja. „a) ist trivial.“ 🤣

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

ich bin jetzt verwundert, dass Du meine Einreichung für (b) unkommentiert stehen gelassen hast. Es gibt tatsächlich keine Lösung?

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Das ist gleichzusetzen mit dem halben Pyramidenvolumen. Das ganze Volumen ist Grundfläche mal Höhe durch 3, also $$P=\frac{1}{3}\cdot 4k^2\cdot k\tan \alpha = \frac{4}{3}k^3 \frac{2t}{1-t^2}$$.

Letzteres durch erneute Anwendung des Halbwinkelsatzes und Einsetzen von von t für $$\tan{\frac{\alpha}{2}}$$. Nun muss ich K und die Hälfte von P gleichsetzen:

$$\frac{4}{3}\pi k^3 t^3 (1+t^6) = \frac{1}{2}\frac{4}{3}k^3 \frac{2t}{1-t^2}$$

$$\Longleftrightarrow \pi t^3 (1+t^6) = \frac{2t}{1-t^2}$$

Hier ist ein \frac{1}{2} verlorengegangen?

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

hm. Habe ich gepennt?

Wenn, dann ist eine 2 im Zähler stehen geblieben. Das 1/2 sollte sich gegen die 2 in 2t wegkürzen. Ich habe das mehrfach hin- und hergerechnet, mit unterschiedlichen Substitutionen und Schlampereifehlern, da bin ich wohl beim Übertragen durcheinander gekommen.

Es macht die Sache aber nicht besser. $$\frac{1}{\pi} \approx 0{,}318$$ und ein Plot von $$f(t) = t^2+t^8-t^4-t^{10}$$ ergibt einen Maximalwert von $$0{,}292$$. Es kann also immer noch keine Punkte mit Gleichheit geben.

Wenn man ein alpha suchte, wo die Kugeln ein Drittel des Pyramidenvolumns einnehmen, dann würde man mit $$\frac{2}{3\pi}$$ gleichsetzen und käme - danke Wolfram - auf $$t=\pm 0{,}540995$$ und $$t=\pm 0{,}917770$$. Resubstitution für die positiven t ergibt dann die Lösungen: $$\alpha = 56{,}83^\circ$$ und $$\alpha = 85{,}09^\circ$$. Die negativen t liefern eine an der Grundseite gespiegelte Pyramide.

Update: Wolfram zeigt mir ein paar merkwürdige related queries an, mit "series of" und "third derivative". Sowas kenne ich gar nicht. Wer wolframt denn da noch an der Aufgabe herum? Oder denkt sich Wolfram ähnliche Queries selber aus?

Rolf

[seth]

gudn tach!

In diese Pyramide werden zwei Kugeln so einbeschrieben, dass eine Kugel alle fünf Flächen der Pyramide, die zweite die vier Seitenflächen und die erste Kugel berührt.

es spricht also nichts dagegen, dass die erste und die zweite kugel deckungsgleich sind.

da sich das problem aufgrund der symmetrie-eigenschaften auf einen 2d-schnitt reduzieren laesst, sodass man nur ein gleichseitiges dreieck zu betrachten hat, geht es letztlich um den inkreis eines gleichseitigen dreiecks bzw. die kugel mit demselben radius. die existenz ist damit belegt.

somit gilt fuer

a) 1

b) eine loesung gibt es sicherlich. und zwar bei einer entarteten pyramide mit hoehe h=0 (und somit auch winkel=0), da haben sowohl pyramide als auch inkugel ein volumen von 0. damit waere die bedingung b erfuellt.

prost

seth

[Tabellenkalk]

Hallo,

b) eine loesung gibt es sicherlich. und zwar bei einer entarteten pyramide mit hoehe h=0 (und somit auch winkel=0), da haben sowohl pyramide als auch inkugel ein volumen von 0. damit waere die bedingung b erfuellt.

Hm, ist eine entartete Pyramide immer noch regulär?
Und bei einer Pyramide der Höhe 0 habe ich Schrwierigkeiten 4 Seiten zu erkennen...

Aber ansonsten ist das ne clevere Lösung!

Gruß
Kalk

[seth]

Hm, ist eine entartete Pyramide immer noch regulär?

die hoehe (die ich auf 0 setze) aendert ja nix an der grundflaeche. eine auf diese weise entartete regulaere pyramide waere weiterhin regulaer. sie bestuende ja quasi nur noch aus der (regulaeren) grundflaeche.

Und bei einer Pyramide der Höhe 0 habe ich Schrwierigkeiten 4 Seiten zu erkennen...

man kann sie berechnen. das reicht in der mathematik.

im konkreten fall kann man sich's aber auch vorstellen: die seitenflaechen sind einfach auf die grundflaeche runtergeklappt. von unten sieht die pyramide weiterhin aus wie jede pyramide, im falle einer regulaeren 4-seitigen: wie ein quadrat. von oben ebenfalls, naemlich wie ein quadrat mit verbundenen diagonalen. von der seite betrachtet sieht man dagegen nur eine strecke.

prost

seth

[Tabellenkalk]

Hallo,

man kann sie berechnen. das reicht in der mathematik.

Nein. Es gehört immer auch eine Plausibilitätsprüfung dazu. Bei deiner Konstruktion haben die Kugeln nämlich z. B. auch das doppelte Volumen der Pyramide und daher ist das für den Fall uneindeutig.

Gruß
Kalk

[seth]

Hallo,

man kann sie berechnen. das reicht in der mathematik.

Nein.

doch.

Es gehört immer auch eine Plausibilitätsprüfung dazu.

dem habe ich doch gar nicht widersprochen. du sprachst von "erkennen", ich habe darunter "anschaulich vorstellen" verstanden. und eben dies ist in der mathematik ueberhaupt nicht noetig.

ansonsten habe ich die begruendung ja angegeben, weshalb die pyramide eine ist.

Bei deiner Konstruktion haben die Kugeln nämlich z. B. auch das doppelte Volumen der Pyramide

richtig.

und daher ist das für den Fall uneindeutig.

wo siehst du hierbei ein problem?

prost

seth

[Rolf B]

Hallo seth,

Nein.

doch.

Oh!

Prost

Yup, da ist das Problem. Du trinkst zuviel 😉

Ja, du hast die Triviallösung 0=0 für das Problem gefunden. Sie funktioniert auch dann, wenn die Kugeln nicht ineinander stecken, sondern übereinander stehen, so wie Matthias das gedacht hatte.

Sie ist natürlich gültig. Dass es auch andere Volumenverhältnisse gibt, für die sie gilt, ändert daran nichts.

Meine analytische Lösung enthält diesen Fall nicht, das muss daran liegen, dass ich unüberlegt das Verhältnis $$r_2/r_1$$ verwende, welches für $$\alpha=0 \Rightarrow h=0$$ nicht definiert ist.

Also eigentlich: Danke für die Vervollständigung. Aber wie ein Troll dahergekommen bist Du trotzdem…

*hicks*
Rolf

[seth]

gudn tach!

Yup, da ist das Problem. Du trinkst zuviel 😉

zu viel schorle? ich glaube nicht.

Ja, du hast die Triviallösung 0=0 für das Problem gefunden.

ich habe fuer beide aufgabenstellungen valide (zugegeben sehr einfache) loesungen angegeben, weil die aufgabenstellungen nicht eindeutig waren.

Sie funktioniert auch dann, wenn die Kugeln nicht ineinander stecken, sondern übereinander stehen, so wie Matthias das gedacht hatte.

richtig.

Sie ist natürlich gültig. Dass es auch andere Volumenverhältnisse gibt, für die sie gilt, ändert daran nichts.

auch richtig.

Ich bin allerdings verblüfft, dass meine analytische Lösung diesen Fall nicht enthält, das muss daran liegen, dass ich das Verhältnis $$r_2/r_1$$ verwende, welches für $$h=0$$ nicht definiert ist.

genau. bei gleichungsumformungen auf aequivalenz zu achten, ist weniger leicht, als man meist denkt.

prost

seth