Mathematik zum Wochenanfang

[Gunnar Bittersmann]

Wochenanfang, Monatsanfang, Neuanfang.

Drei Viertelkreise. Wie groß ist die farbig markierte Fläche?

😷 LLAP

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Done.

Spoiler: Die Lösung enthält Pi und ein Vielfaches von 8. Und wer weiß was sonst noch alles… 😉

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Drei Viertelkreise. Wie groß ist die farbig markierte Fläche?

Quelle: https://twitter.com/Cshearer41/status/1420670368252039168

Lösung: 32π

einfach(st?)e Herleitung: https://twitter.com/MathyMahdi/status/1420871591253069830

Ich muss gestehen, dass ich’s mir auch komplizierter gemacht habe:

Aber nicht so kompliziert wie who shall remain nameless. 😜

😷 LLAP

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

man sieht wieder einmal: Alles eine Frage der richtigen Hilfslinien.

Und wenn man die nicht sieht, steht man vor komplizierten Termen, Sehnensatz und quadratischen Gleichungen. ABER ICH BIN ANGEKOMMEN! 😂

Rolf

[Der Martin]

Hallo Gunnar,

Drei Viertelkreise. Wie groß ist die farbig markierte Fläche?

Quelle: https://twitter.com/Cshearer41/status/1420670368252039168

Lösung: 32π

einfach(st?)e Herleitung: https://twitter.com/MathyMahdi/status/1420871591253069830

ich kann die Lösung dort nicht nachvollziehen, weil der "animated proof" nicht animiert - da ist bloß ein rotierender Kringel in der Bildmitte.

Aber mein Ansatz war: Da fehlen einige Angaben, vor allem der Winkel, den der Pfeil mit der Länge 8 zur Horizontalen oder zur Vertikalen hat, und damit das Verhältnis, in dem er die diagonale Dreieckseite teilt. Also dachte ich mir, wenn diese Angaben fehlen, ist die Lösung wahrscheinlich davon unabhängig. Also wähle ich mir einen angenehmen Trivialfall aus: 45°. Dann sind die beiden eingefärbten Viertelkreise gleich groß, sie haben den Radius 8. Ihre Fläche ist also jeweils 64π/4, beide zusammen also 32π.

Live long and pros healthy,
 Martin

[Tabellenkalk]

Hallo,

ich kann die Lösung dort nicht nachvollziehen, weil der "animated proof" nicht animiert - da ist bloß ein rotierender Kringel in der Bildmitte.

kurz in Worte gefasst: Rechteck um die 8er-Diagonale ziehen, Seiten mit A und B bezeichnen, Pythagoras A²+B²=8² vormerken. Gesuchte Flächensumme der Viertelkreise ausformulieren und so umstellen, dass vorgemerkter Pythagoras eingesetzt werden kann und das bekannte Ergebnis herauskommt.

Aber mein Ansatz war: Da fehlen einige Angaben, vor allem der Winkel, den der Pfeil mit der Länge 8 zur Horizontalen oder zur Vertikalen hat, und damit das Verhältnis, in dem er die diagonale Dreieckseite teilt. Also dachte ich mir, wenn diese Angaben fehlen, ist die Lösung wahrscheinlich davon unabhängig. Also wähle ich mir einen angenehmen Trivialfall aus: 45°. Dann sind die beiden eingefärbten Viertelkreise gleich groß, sie haben den Radius 8. Ihre Fläche ist also jeweils 64π/4, beide zusammen also 32π.

Ich hatte mir noch zusätzlich die Extremstellung durchgerechnet, d.h. ein Viertelkreis mit der Fläche 0. Da kommt auch dasselbe raus, Gunnar glaubte aber, dass das nicht Beweis genug sei... ;)

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Also dachte ich mir, wenn diese Angaben fehlen, ist die Lösung wahrscheinlich davon unabhängig.

So, dachtest du. „Wahrscheinlich“ dachtest du richtig; nur zeigen (beweisen) muss man das noch.

Ich hatte mir noch zusätzlich die Extremstellung durchgerechnet, d.h. ein Viertelkreis mit der Fläche 0. Da kommt auch dasselbe raus, Gunnar glaubte aber, dass das nicht Beweis genug sei... ;)

Dass irgendwas an den Enden denselben Wert hat, heißt ja nicht, dass es dazwischen auch so ist. Symbolbild:

(Foto: Böhringer Friedrich, CC BY-SA 2.5)

😷 LLAP