Mathematik zur Wochenmitte

[Gunnar Bittersmann]

Berechne den Radius!

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PS: Lösungen wie immer bitte nicht hier posten, sondern per DM (Post) an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf.

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

boah ist das Ding gemein. Der Radius ist so nahe an der 6, dass man in eine visuelle Falle nach der anderen tappt. „Das müsste doch gleich sein“ - äh, nein. Mehrfach jetzt schon… Danke, Geogebra.

Mit Zirkel und Lineal lässt sich der Mittelpunkt ja leicht konstruieren. Und mit einer sin/cos-Orgie sicher auch berechnen. Aber das wäre sehr unelegant.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Mit Zirkel und Lineal lässt sich der Mittelpunkt ja leicht konstruieren.

Ja. Und es sollte dann auch nicht so schwer sein zu rechnen.

Und mit einer sin/cos-Orgie sicher auch berechnen. Aber das wäre sehr unelegant.

Ich mag nicht behaupten, den elegantesten Weg gefunden zu haben. Aber nein, Winkelfunktionen hab ich keine.

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[Rolf B]

Hallo Gunnar,

nach einigem Grübeln hab ich's doch algebraisch gemacht.

Sei A der untere Punkt der 4er Strecke, B der obere Punkt, C der Übergangspunkt 6er zu 8er und D der untere Punkt der 8er.

Der Mittelpunkt des Kreises findet sich am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Sehnen. Eine Sehne ist die Strecke AB. Ich setze ein Koordinatensystem ein, mit der Y-Achse entlang der 4er Strecke und Ursprung im Punkt A. Die Mittelsenkrechte der Sehne AB ist die Gerade y=2.

Die Strecke BD ist eine weitere Sehne. Sie verläuft auf einer Geraden mit Steigung $$m_{BD}=\frac{-4}{3}$$ und schneidet die X-Achse bei x=3. Das ist auch ihr Mittelpunkt (weil AB halb so lang ist wie CD). Ihre Senkrechte hat die Steigung $$m=-\frac{1}{m_{BD}}=\frac{3}{4}$$, was zu der Geradengleichung
$$y=\frac{3}{4}(x-3)$$
führt.

Die Geradengleichungen der beiden Mittelsenkrechten setze ich gleich:

$$y=\frac{3}{4}(x-3) = 2$$

und erhalte den Schnittpunkt $$(\frac{17}{3} | 2)$$. Die Strecke von A(0 | 0) zum Schnittpunkt ist ein Radius, und Pythagoras liefert mir damit
$$r=\frac{5}{3}\sqrt{13} \approx 6,0093$$.

Total gemein, dieser Wert, so haarscharf an der Sechs und doch vorbei.

Rolf

[Rolf B]

Jetzt kann ich es ja wieder enthüllen...

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Die Aufgabe hatte ich diesmal von @SchoenMuc.

Wir legen das Ganze so in ein Koordinatensystem, dass die 3 Punkte auf dem Kreis A(0, 0), B(0, −4) und C(6, −8) sind.

Da A, B und C auf dem Kreis mit Radius r um den Mittelpunkt M(x₀, y₀) liegen, erfüllen ihre Koordinaten (x, y) die Kreisgleichung (x − x₀)² + (y − y₀)² = r². (Manche sagen auch „Pythagoras“ dazu. 😉)

Koordinaten von A und B eingesetzt und gleichgesetzt:
(−x₀)² + (−y₀)² = x² + y₀² = (−x₀)² + (−4 − y₀)² = x₀² + 16 + 8y₀ + y₀², also y₀ = −2.

Das in die 3. Gleichung für C eingesetzt und wieder mit der von A gleichgesetzt:
(−x₀)² + (−2)² = x₀² + 4 = (6 − x₀)² + (−8 + 2)² = 72 − 12x₀ + x₀², woraus sich x₀ = ¹⁷⁄₃ ergibt.

Aus r² = (¹⁷⁄₃)² + (−2)² erhalten wir r = ⁵⁄₃√13, was ein ganz klein wenig über 6 ist. Und da die Aufgabe in Zentimetern gestellt ist, ist die Antwort ⁵⁄₃√13 cm.

Anderer Lösungsweg: Der Kreis ist der Umkreis des Dreiecks ABC; sein Mittelpunkt also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Wie man leicht sieht (wirklich!), ist die Mittelsenkrechte zu AB die Gerade y = −2.

AC liegt auf y = −⁴⁄₃x; der Mittelpunkt ist P(3, −4). Die Mittelsenkrechte dazu hat den Anstieg ³⁄₄; und damit sie durch P geht, ist es y = ³⁄₄x − ²⁵⁄₄.

Gleichsetzen: ³⁄₄x₀ − ²⁵⁄₄ = −2 ergibt wieder x₀ = ¹⁷⁄₃. Von da ab weiter wie oben.

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[ottogal]

Die Aufgabe hatte ich diesmal von @SchoenMuc.

Dort gibt's amüsante Antworten...