Gunnar Bittersmann: Mathematik zur Wochenmitte

Berechne den Radius!

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PS: Lösungen wie immer bitte nicht hier posten, sondern per DM (Post) an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf.

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„Im Vergleich mit Elon Musk bei Twitter ist ein Elefant im Porzellanladen eine Ballerina.“
— @Grantscheam auf Twitter
  1. Hallo Gunnar,

    boah ist das Ding gemein. Der Radius ist so nahe an der 6, dass man in eine visuelle Falle nach der anderen tappt. „Das müsste doch gleich sein“ - äh, nein. Mehrfach jetzt schon… Danke, Geogebra.

    Mit Zirkel und Lineal lässt sich der Mittelpunkt ja leicht konstruieren. Und mit einer sin/cos-Orgie sicher auch berechnen. Aber das wäre sehr unelegant.

    Rolf

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    sumpsi - posui - obstruxi
    1. @@Rolf B

      Mit Zirkel und Lineal lässt sich der Mittelpunkt ja leicht konstruieren.

      Ja. Und es sollte dann auch nicht so schwer sein zu rechnen.

      Und mit einer sin/cos-Orgie sicher auch berechnen. Aber das wäre sehr unelegant.

      Ich mag nicht behaupten, den elegantesten Weg gefunden zu haben. Aber nein, Winkelfunktionen hab ich keine.

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  2. Hallo Gunnar,

    nach einigem Grübeln hab ich's doch algebraisch gemacht.

    Sei A der untere Punkt der 4er Strecke, B der obere Punkt, C der Übergangspunkt 6er zu 8er und D der untere Punkt der 8er.

    Der Mittelpunkt des Kreises findet sich am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Sehnen. Eine Sehne ist die Strecke AB. Ich setze ein Koordinatensystem ein, mit der Y-Achse entlang der 4er Strecke und Ursprung im Punkt A. Die Mittelsenkrechte der Sehne AB ist die Gerade y=2.

    Die Strecke BD ist eine weitere Sehne. Sie verläuft auf einer Geraden mit Steigung $$m_{BD}=\frac{-4}{3}$$ und schneidet die X-Achse bei x=3. Das ist auch ihr Mittelpunkt (weil AB halb so lang ist wie CD). Ihre Senkrechte hat die Steigung $$m=-\frac{1}{m_{BD}}=\frac{3}{4}$$, was zu der Geradengleichung
    $$y=\frac{3}{4}(x-3)$$
    führt.

    Die Geradengleichungen der beiden Mittelsenkrechten setze ich gleich:

    $$y=\frac{3}{4}(x-3) = 2$$

    und erhalte den Schnittpunkt $$(\frac{17}{3} | 2)$$. Die Strecke von A(0 | 0) zum Schnittpunkt ist ein Radius, und Pythagoras liefert mir damit
    $$r=\frac{5}{3}\sqrt{13} \approx 6,0093$$.

    Total gemein, dieser Wert, so haarscharf an der Sechs und doch vorbei.

    Rolf

    --
    sumpsi - posui - obstruxi
    1. Jetzt kann ich es ja wieder enthüllen...

      Rolf

      --
      sumpsi - posui - obstruxi
  3. @@Gunnar Bittersmann

    Die Aufgabe hatte ich diesmal von @SchoenMuc.

    Wir legen das Ganze so in ein Koordinatensystem, dass die 3 Punkte auf dem Kreis A(0, 0), B(0, −4) und C(6, −8) sind.

    Da A, B und C auf dem Kreis mit Radius r um den Mittelpunkt M(x₀, y₀) liegen, erfüllen ihre Koordinaten (xy) die Kreisgleichung (x − x₀)² + (y − y₀)² = r². (Manche sagen auch „Pythagoras“ dazu. 😉)

    Koordinaten von A und B eingesetzt und gleichgesetzt:
    (−x₀)² + (−y₀)² = x² + y₀² = (−x₀)² + (−4 − y₀)² = x₀² + 16 + 8y₀ + y₀², also y₀ = −2.

    Das in die 3. Gleichung für C eingesetzt und wieder mit der von A gleichgesetzt:
    (−x₀)² + (−2)² = x₀² + 4 = (6 − x₀)² + (−8 + 2)² = 72 − 12x₀ + x₀², woraus sich x₀ = ¹⁷⁄₃ ergibt.

    Aus r² = (¹⁷⁄₃)² + (−2)² erhalten wir r = ⁵⁄₃√13, was ein ganz klein wenig über 6 ist. Und da die Aufgabe in Zentimetern gestellt ist, ist die Antwort ⁵⁄₃√13 cm.

    Anderer Lösungsweg: Der Kreis ist der Umkreis des Dreiecks ABC; sein Mittelpunkt also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

    Wie man leicht sieht (wirklich!), ist die Mittelsenkrechte zu AB die Gerade y = −2.

    AC liegt auf y = −⁴⁄₃x; der Mittelpunkt ist P(3, −4). Die Mittelsenkrechte dazu hat den Anstieg ³⁄₄; und damit sie durch P geht, ist es y = ³⁄₄x − ²⁵⁄₄.

    Gleichsetzen: ³⁄₄x₀ − ²⁵⁄₄ = −2 ergibt wieder x₀ = ¹⁷⁄₃. Von da ab weiter wie oben.

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    — @Grantscheam auf Twitter
    1. Die Aufgabe hatte ich diesmal von @SchoenMuc.

      Dort gibt's amüsante Antworten...