Mathematik zum Wochenanfang

[Gunnar Bittersmann]

Wir bleiben bei den Aufgaben ohne Skizze.

Gesucht sind alle zehnstelligen Zahlen n, die folgende Bedingen erfüllen (im Dezimalsystem):

• sie enthalten alle Ziffern von 0 bis 9
• für alle k von 1 bis 10 ist die aus den ersten k Ziffern von n gebildete Zahl durch k teilbar

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[Rolf B]

Hallo Gunnar,

zehnstelligen Zahlen n sie enthalten alle Ziffern von 0 bis 9

Sehe ich es richtig, dass die Zahl 0123456789 dies verletzen würde? Die Teilbarkeitsregel lasse ich da mal außen vor.

Rolf

[Der Martin]

Hallo,

zehnstelligen Zahlen n sie enthalten alle Ziffern von 0 bis 9

Sehe ich es richtig, dass die Zahl 0123456789 dies verletzen würde?

über die Zulässigkeit einer führenden Null habe ich tatsächlich auch nachgedacht.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

zehnstelligen Zahlen n sie enthalten alle Ziffern von 0 bis 9

Sehe ich es richtig, dass die Zahl 0123456789 dies verletzen würde?

über die Zulässigkeit einer führenden Null habe ich tatsächlich auch nachgedacht.

Für k = 10 heißt die zweite Bedingung: die aus den ersten 10 Ziffern von n gebildete Zahl – also n – ist durch 10 teilbar.

Damit erübrigt sich die Frage nach einer führenden Null.

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[MudGuard]

Hi,

Wir bleiben bei den Aufgaben ohne Skizze.

Gesucht sind alle zehnstelligen Zahlen n, die folgende Bedingen erfüllen (im Dezimalsystem):

wie ich die suche, ist egal? Also darf ich per Programm alle derartigen Zahlen durchlaufen und mir die Treffer merken, oder wird eine mathematische Herleitung gefordert?

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Gunnar Bittersmann]

@@MudGuard

Also darf ich per Programm alle derartigen Zahlen durchlaufen und mir die Treffer merken

Ein solches Programm zu schreiben dauert so 5 bis 10 Minuten. Das wäre nicht „zum Wochenanfang“, sondern „zum Tagesausklang“. 😉

oder wird eine mathematische Herleitung gefordert?

Ja, bitte.

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[Der Martin]

Hallo,

Gesucht sind alle zehnstelligen Zahlen n, die folgende Bedingen erfüllen (im Dezimalsystem):

• sie enthalten alle Ziffern von 0 bis 9

dass die Null nicht an erster Stelle stehen kann, ist ja auf Nachfrage bereits geklärt.
Es gibt also insgesamt 9 * 9! mögliche Kandidaten für diese erste Bedingung.

• für alle k von 1 bis 10 ist die aus den ersten k Ziffern von n gebildete Zahl durch k teilbar

Den Trivialfall k=1 hast du wohl nur zum Verwirren mit erfasst? 😉

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Rolf B]

Hallo Martin,

Den Trivialfall k=1 hast du wohl nur zum Verwirren mit erfasst? 😉

Damit Du in dem JavaScript-Bruteforcer, mit dem Du die Lösungen zusammenraffelst, nicht k>1 in der ersten Rekursionsstufe abfragen musst.

Ich habe auch mit JavaScript und Rekursion angefangen. Das hilft aber absolut nicht dabei, eine formale Lösung zu erbringen. Leider habe ich keine rein formale Lösung zu Stande gebracht, ein kleines Brecheisen (ohne Programmierung zu erlangen) musste sein. Bin gespannt ob es auch komplett mit der Rasierklinge geht.

Rolf

[Der Martin]

Hallo Rolf,

Den Trivialfall k=1 hast du wohl nur zum Verwirren mit erfasst? 😉

Damit Du in dem JavaScript-Bruteforcer, mit dem Du die Lösungen zusammenraffelst, nicht k>1 in der ersten Rekursionsstufe abfragen musst.

daran habe ich nicht einmal gedacht.

Ich habe auch mit JavaScript und Rekursion angefangen. Das hilft aber absolut nicht dabei, eine formale Lösung zu erbringen. Leider habe ich keine rein formale Lösung zu Stande gebracht, ein kleines Brecheisen (ohne Programmierung zu erlangen) musste sein. Bin gespannt ob es auch komplett mit der Rasierklinge geht.

Ich bin mit Skalpell und Nagelfeile schon relativ weit gekommen, glaube ich.

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Wir bleiben bei den Aufgaben ohne Skizze.

Gesucht sind alle zehnstelligen Zahlen n, die folgende Bedingen erfüllen (im Dezimalsystem):

• sie enthalten alle Ziffern von 0 bis 9
• für alle k von 1 bis 10 ist die aus den ersten k Ziffern von n gebildete Zahl durch k teilbar

Seien a₁, a₂, …, a₁₀ ∈ {0, 1, …, 9} die Ziffern von n, also n = a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉a₁₀

10 Stellen, 10 Ziffern, d.h. jede der Ziffern 0 bis 9 kommt genau einmal vor.

n soll durch 10 teilbar sein, also a₁₀ = 0.

a₁a₂a₃a₄a₅ soll durch 5 teilbar sein, also a₅ = 5. (Die 0 war ja schon vergeben.)

Die Teilbarkeit von a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈a₉ durch 9 ist immer gegeben, da die Quersumme unabhängig von der Reihenfolge der Ziffern immer 45 ist.

a₁a₂ soll durch 2 teilbar sein, ebenso a₁a₂a₃a₄ (weil durch 4), a₁a₂a₃a₄a₅a₆ (weil durch 6) und a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈ (weil durch 8). a₂, a₄, a₆, a₈ müssen also gerade sein; a₂, a₄, a₆, a₈ ∈ {2, 4, 6, 8}.

Somit verbleiben für die restlichen Ziffern die ungeraden; a₁, a₃, a₇, a₉ ∈ {1, 3, 7, 9}.

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzte Stelle 0, 4 oder 8 und die vorletzte Stelle gerade ist oder wenn die letzte Stelle 2 oder 6 und die vorletzte Stelle ungerade ist. Da a₃ ungerade ist, muss a₄ ∈ {2, 6} sein, damit a₁a₂a₃a₄ durch 4 teilbar ist.

Dieselbe Überlegung führt zu a₈ ∈ {2, 6} und somit a₂, a₆ ∈ {4, 8}.

Fall 1: a₂ = 4, a₆ = 8

Damit a₁a₂a₃ durch 3 teilbar ist, muss a₁ + a₂ + a₃ = a₁ + 4 + a₃ durch 3 teilbar sein. Das geht nur mit a₁, a₃ ∈ {1, 7}. Bleibt übrig: a₇, a₉ ∈ {3, 9}.

Damit a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇a₈ durch 8 teilbar ist, muss a₆a₇a₈ durch 8 teilbar sein. Das geht nur mit 832 und 896; 836 und 892 sind nicht durch 8 teilbar.

Damit ergeben sich folgende möglichen Kandidaten: 1476583290, 7416583290, 1472589630 und 7412589630. Nun sind aber keine der Zahlen 1476583, 7416583, 1472589 und 7412589 durch 7 teilbar.

Fall 2: a₂ = 8, a₆ = 4

a₁ + a₂ + a₃ = a₁ + 8 + a₃ muss durch 3 teilbar sein. Das geht nur mit a₁, a₃ ∈ {1, 3}. Bleibt übrig: a₇, a₉ ∈ {7, 9}.

a₆a₇a₈ durch 8 teilbar geht dann nur mit 472 und 496, nicht mit 476 und 492.

Damit ergeben sich folgende möglichen Kandidaten: 1836547290, 3816547290, 1832549670 und 3812549670. Von den aus den jeweils ersten 7 Ziffern gebildeten Zahlen ist nur 3816547 durch 7 teilbar.

Nur die Zahl 3816547290 erfüllt die Bedingungen.

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@Rolf B hatte das auch in etwa so, nur mit einem „Brute-Force Teil zwischendurch“. 😄

Die Aufgabe hatte ich von Holger Dambeck vom Spiegel.

Dort ist auch eine Lösung zu finden, die sich von meiner wohl nur darin unterscheidet, dass die Betrachtung der Teilbarkeiten durch 3 und 8 in ihrer Reihenfolge vertauscht sind.

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[Rolf B]

Hallo Gunnar,

na, bruter als Du hab ich das letztlich auch nicht geforced. Aber deine Fallunterscheidung 4/8 und 8/4 macht die Sache übersichtlicher. Sehr schön 😀

Rolf