Gunnar Bittersmann: Mathematik zum Wochenende

Heute mal eine Aufgabe ohne Skizze.

$$16^x+20^x=25^x.$$

🖖 Живіть довго і процвітайте

PS: Lösungen wie immer bitte nicht hier posten, sondern per DM (Post) an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf.

--
When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.
— Jimi Hendrix
  1. Heute mal eine Aufgabe ohne Skizze.

    $$16^x+20^x=25^x.$$

    PS: Lösungen wie immer bitte nicht hier posten, sondern per DM (Post) an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf.

    $x = 0;
    $passt = 0;
    while($passt != 1) {
        $x++;
        if(pow(16,$x) + pow(20,$x) == pow(25,$x)) {
            $passt = 1;
            echo "X ist gleich $x";
        }
    }
    

    Ist ja keine echte Lösung 😜

    1. Ist ja keine echte Lösung 😜

      Was mich aber zu einer Frage bringt:

      Warum bringt mich php, wenn ich $x auf -1000 vpor der Schleife setze, zur Lösung, dass das gesuchte $x -999 wäre? (0 = 0)

      Jörg

      P.S: Sorry, Gunnar, ich wollt eigentlich Dein Thema nicht kapern. Grad nicht bei einer so schönen Aufgabe.👍
      Sollte das also unerwünscht sein, möge ein Admin es bitte löschen. 😉

      1. Hallo,

        Warum bringt mich php, wenn ich $x auf -1000 vpor der Schleife setze, zur Lösung, dass das gesuchte $x -999 wäre? (0 = 0)

        vermutlich weil dann die Zahlen so klein werden, dass sie als IEEE-Float nicht mehr darstellbar sind und daher zu 0 gerundet werden.

        P.S: Sorry, Gunnar, ich wollt eigentlich Dein Thema nicht kapern. Grad nicht bei einer so schönen Aufgabe.👍
        Sollte das also unerwünscht sein, möge ein Admin es bitte löschen. 😉

        Solche Beiträge sind zwar eigentlich unerwünscht, aber da du sowieso auf dem informationstechnischen Holzweg bist ...

        Einen schönen Tag noch
         Martin

        --
        Nein, Esel sind nicht störrisch. Sie wissen es einfach nur besser.
        1. Hi Martin,

          vermutlich weil dann die Zahlen so klein werden, dass sie als IEEE-Float nicht mehr darstellbar sind und daher zu 0 gerundet werden.

          Ja, so hab ichs mir auch erklärt.

          Solche Beiträge sind zwar eigentlich unerwünscht, aber da du sowieso auf dem informationstechnischen Holzweg bist ...

          Kein problem. Einfach löschen und gut ist. 😀

          Die Aufgabe selber ist trotzdem schön, bin auf die Lösung gespannt.

        2. aber da du sowieso auf dem informationstechnischen Holzweg bist ...

          Jepp! Man sollte sich die Fakten (Variablen und Rechenergebnisse) sicherheitshalber ausgeben lassen und diese auch zu beurteilen wissen:

          …
          X=220 : 8.0611348134715E+264 + 1.6849966666969E+286 = 3.5221018286841E+307
          X=221 : 1.2897815701554E+266 + 3.3699933333938E+287 = INF
          …
          X=237 : 2.3792270535645E+285 + INF = INF
          

          (INF ist in PHP eine Konstante.)

          sonst glaubt man am Ende noch Blutimir Putin, dem sebsterklärtem Schwindelpraxis-Schiffmann oder seinem eigenem Computer-Programm.

          (Hier meine Anpassungen, welche das Problem zeigen aber nicht lösen:)

          <?php
          header('Content-Type: text/plain; charset=utf-8');
          $x = 0;
          $passtNicht = true;
          while( $passtNicht ) {
              $x++;
              echo 'X=' . $x . ' : ' . pow(16,$x) . ' + ' . pow(20,$x) . ' = ' . pow(25,$x) . PHP_EOL;
              if(pow(16,$x) + pow(20,$x) == pow(25,$x)) {
                  $passtNicht = false;
                  echo "X ist gleich $x ?" . PHP_EOL;
              }
          }
          
          1. aber da du sowieso auf dem informationstechnischen Holzweg bist ...

            Jepp! Man sollte sich die Fakten (Variablen und Rechenergebnisse) sicherheitshalber ausgeben lassen und diese auch zu beurteilen wissen:

            …
            X=220 : 8.0611348134715E+264 + 1.6849966666969E+286 = 3.5221018286841E+307
            X=221 : 1.2897815701554E+266 + 3.3699933333938E+287 = INF
            …
            X=237 : 2.3792270535645E+285 + INF = INF
            

            Arghs, verteufelt. 😬
            Aber wieder was gelernt.
            Und so hat das kapern des Threads auch noch sein Gutes und für das Forum nützliches. 😇

            Danke für die Aufklärung.

            1. Dieser Beitrag wurde gelöscht: Spoiler
    2. @@Jörg

      $$16^x+20^x=25^x.$$

      $x = 0;
      $passt = 0;
      while($passt != 1) {
          $x++;
      

      Hehe, dass die Gleichung keine positive ganzzahlige Lösung haben kann, ist doch schnell gezeigt. Hold my beer…

      Ach, wisst ihr was? Macht ihr das! Wir teilen die Aufgabe:

      a) Zeige, dass es keine Lösung x ∈ ℕ gibt.

      b) Finde eine Lösung x ∉ ℕ.

      🖖 Живіть довго і процвітайте

      --
      When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.
      — Jimi Hendrix
      1. Wir teilen die Aufgabe:

        a) Zeige, dass es keine Lösung x ∈ ℕ gibt.

        b) Finde eine Lösung x ∉ ℕ.

        a) ist so kurz vor der Lösung, dass die Teilung nur bewirkt, dass derjenige, der die Hauptleistung a) erbringt auf die Lorbeeren verzichten soll die es dann für b) gibt?

        1. @@Raketenwilli

          a) ist so kurz vor der Lösung, dass die Teilung nur bewirkt, dass derjenige, der die Hauptleistung a) erbringt auf die Lorbeeren verzichten soll die es dann für b) gibt?

          Ich habe zwei Lorbeerkränze geflochten.

          🖖 Живіть довго і процвітайте

          --
          When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.
          — Jimi Hendrix
          1. Hm. Aufgabe war:

            $$16^x+20^x=25^x.$$

            Gibt es denn auch einen Lorbeerkranz für die beiden offensichtlichen Lösungen:

            1. X=INF ;# Unendlich
            2. X=-1*INF ;# Unendlich Negativ

            Definiert ist wie folgt

            INF + INF = INF
            INF - INF = 0
            n * INF   = INF
            n ^ INF   = INF
            n / INF   = 0
            n % INF   = 0
            INF / INF = 1
            

            Also folgt mit x = INF:

            16 ^ INF = INF
            20 ^ INF = INF 
            25 ^ INF = INF
            INF + INF = INF; Gelöst!
            

            Und mit x = -INF:

            n ^ (-INF)  = 1/(n^INF) = 1/INF = 0;
            16 ^ (-INF) = 0;
            20 ^ (-INF) = 0;
            25 ^ (-INF) = 0;
            0 + 0 = 0; Gelöst!
            

            Oder nur für die Zahl dazwischen, die man auch mit der Annäherungsmethode berechnen kann?

            1. @@Raketenwilli

              Hm. Aufgabe war:

              $$16^x+20^x=25^x.$$

              Gibt es denn auch einen Lorbeerkranz für die beiden offensichtlichen Lösungen:

              1. X=INF ;# Unendlich

              Das ist ganz offensichtlich keine Lösung. Das hieße ja $$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{16^x+20^x}{25^x} = 1$$.

              Es ist aber $$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{16^x+20^x}{25^x} = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{16}{25}\right)^x + \lim_{x \to \infty} \left(\frac{20}{25}\right)^x = 0$$

              1. X=-1*INF ;# Unendlich Negativ

              0 + 0 = 0; das sollte stimmen.

              Aber lorbeerkranzverdächtig ist das nicht.

              Oder nur für die Zahl dazwischen, die man auch mit der Annäherungsmethode berechnen kann?

              Annäherungsmethode?

              Gesucht ist (sind?) die Zahl(en?). Und zwar genau, keine Näherung.

              🖖 Живіть довго і процвітайте

              --
              When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.
              — Jimi Hendrix
      2. @@Gunnar Bittersmann

        $$16^x+20^x=25^x.$$

        a) Zeige, dass es keine Lösung x ∈ ℕ gibt.

        Für x = 0 steht da 1 + 1 = 1. Wie wir wissen, stimmt das nicht.

        1 + 1 = 3
        “It is the essential equation of love.
        There is no love without 1 + 1 equaling 3.
        It’s the essential equation of art.
        It’s the essential equation of rock and roll.”

        — Bruce Springsteen on Broadway, Intro to “Tenth Avenue Freeze-Out”

        Für x ∈ ℕ⁺ ist $$16^x$$ eine gerade Zahl; $$20^x$$ ebenso. Die Summe auf der linken Seite ist gerade; $$25^x$$ auf der rechten Seite hingegen ist ungerade.


        b) Finde eine Lösung x ∉ ℕ.

        $$16^x+20^x=25^x$$
        $$1+\ \dfrac{20^x}{16^x}\ =\dfrac{25^x}{16^x}$$
        $$1+\left(\frac{5}{4}\right)^x=\left(\frac{5}{4}\right)^{2x}$$

        Wir substituieren $$\left(\frac{5}{4}\right)^x=t$$. Für alle x ∈ ℝ ist t > 0.
        $$1+t=t^2$$
        $$\quad\ \ 0=t^2-t-1$$
        $$\quad\ \ t=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)=\Phi$$ (goldener Schnitt)

        (Wegen t > 0 entfällt die andere Lösung der quadratischen Gleichung.)

        Einsetzen und logarithmieren:
        $$\ln\left(\frac{5}{4}\right)^x=x\cdot\ln\frac{5}{4}=\ln\Phi$$

        Und schon haben wir die Lösung $$x=\dfrac{\ln\Phi}{\ln\tfrac{5}{4}}$$

        (Wer unbedingt den Taschenrechner für einen Näherungswert bemühen will, sollte ≈2,1565 rausbekommen.)

        Die Aufgabe samt Lösungsweg hab ich von YouTube. Ihr könnt euch das Anschauen des Videos sparen; in den 8 Minuten passiert nicht mehr als ich hier in 8 Zeilen aufgeschrieben habe. Erwähnenswert der Umstand, dass in anderen Regionen Klammern gesetzt werden, wo wir sie als völlig überflüsig erachten.

        Stattdessen empfehle ich anzusehen, wie einer die Gleichung 5. Grades x⁵ − 5x + 3 = 0 löst.

        🖖 Живіть довго і процвітайте

        --
        When the power of love overcomes the love of power the world will know peace.
        — Jimi Hendrix