nicht angemeldet ottogal
encoder
Rolf B
ottogal
MudGuard
Rolf B
Der Martin
ottogal
Ein rechteckiger Blechkuchen steht zum Abkühlen in der Küche einer Dreier-WG. Nachdem einer heimlich schon ein rechteckiges Stück herausgeschnitten und aufgegessen hat, wollen die beiden Mitbewohner zur Strafe den verbliebenen Kuchen unter sich gerecht aufteilen. Das fehlende Rechteck liegt allerdings gegenüber den Außenkanten des Kuchens verdreht:
Gesucht ist die geometrische Konstruktion einer Geraden, längs der ein Schnitt den Restkuchen in zwei gleichgroße Stücke teilt.
Man beachte: Es soll nichts berechnet werden - schon gar kein Stokes-Integral...
Ein rechteckiger Blechkuchen steht zum Abkühlen in der Küche einer Dreier-WG. Nachdem einer heimlich schon ein rechteckiges Stück herausgeschnitten und aufgegessen hat, wollen die beiden Mitbewohner zur Strafe den verbliebenen Kuchen unter sich gerecht aufteilen. Das fehlende Rechteck liegt allerdings gegenüber den Außenkanten des Kuchens verdreht:
Offensichtlich eine Fangfrage. Der dritte Mitbewohner will die Welt brennen sehen, und sollte nicht verärgert werden. In den Medien wird es später ein Interview mit einem Bekannten/Familienangehörigen geben, in dem unter anderem der Satz fällt: "Eigentlich war er immer ganz ruhig, er ist gar nicht der Typ für sowas, das hätte ich ihm nie zugetraut".
Wie wir aus traurigem Anlasse sehen, sollte man nicht jedem all das lassen was er sich nimmt, nur weil er die Welt brennen sehen will 😉
Hallo ottogal,
es ist der erste Tag der Fastenzeit, und da kommst Du mit Kuchen an. MANNO!
Rolf
Hi,
es ist der erste Tag der Fastenzeit,
das könnte eine Erklärung sein, warum mein Schweinebraten heute besonders gut geschmeckt hat … 😉
cu,
Andreas a/k/a MudGuard
Der Kuchen ist doch bloß virtuell...
Hallo ottogal,
naaa gut. Dann darf ich mich ja virtuell an ihm vollfressen
Hab ich mir nach den 5 Strichen auch verdient! 🔪✏️
Rolf
Hallo in die Runde,
alle "Einsender" (@encoder, @Tabellenkalk, @Rolf B, @MudGuard) haben die Lösung gefunden (und mehr oder weniger ausführlich formuliert).
Eine Gerade, die jedes der beiden Rechtecke halbiert, halbiert auch den Restkuchen.
Wegen der Punktsymmetrie eines Rechtecks wird es von jeder Geraden durch seinen Mittelpunkt halbiert. Den erhält man als Schnittpunkt seiner Diagonalen.
Die Gerade, die die beiden Mittelpunkte verbindet, löst also die Aufgabe.
Rolf B hat auch den Sonderfall beachtet, dass die Mittelpunkte zusammenfallen. Dann tut es natürlich jede Gerade durch diesen Punkt.
Viele Grüße
ottogal
Hi,
Die Gerade, die die beiden Mittelpunkte verbindet, löst also die Aufgabe.
Rolf B hat auch den Sonderfall beachtet, dass die Mittelpunkte zusammenfallen. Dann tut es natürlich jede Gerade durch diesen Punkt.
Muß man den gesondert betrachten?
Es sollte ja konstruiert werden, und zwar so, daß beide Teile gleich groß sind.
Und wenn man eine Gerade durch beide Mittelpunkte zieht, ist es doch egal, wenn die beiden Punkte zusammenfallen …
Daß man in dem Fall viele unterschiedliche Geraden durch die beiden Punkte ziehen kann, ist doch unerheblich. Für die Konstruktion reicht eine.
cu,
Andreas a/k/a MudGuard
Hallo MudGuard,
nach meiner Auffassung müssen die Anweisungen in einer mathematischen Konstruktionsbeschreibung eindeutig sein, d.h. wenn etwas dem Belieben des Konstrukteurs anheim gestellt wird, gehört das hingeschrieben.
Rolf
Hallo,
Die Gerade, die die beiden Mittelpunkte verbindet, löst also die Aufgabe.
Rolf B hat auch den Sonderfall beachtet, dass die Mittelpunkte zusammenfallen. Dann tut es natürlich jede Gerade durch diesen Punkt.
Muß man den gesondert betrachten?
hätte man hier offensichtlich nicht tun müssen. Aber wenn man einen Sonderfall entdeckt, halte ich es für völlig richtig, ihn genauer zu betrachten. Stellt man dann fest, dass das allgemeine Vorgehen auch im speziellen Fall funktioniert - schön. Das muss aber nicht in jedem Fall so sein.
Es sollte ja konstruiert werden, und zwar so, daß beide Teile gleich groß sind.
Und wenn man eine Gerade durch beide Mittelpunkte zieht, ist es doch egal, wenn die beiden Punkte zusammenfallen …
Daß man in dem Fall viele unterschiedliche Geraden durch die beiden Punkte ziehen kann, ist doch unerheblich. Für die Konstruktion reicht eine.
Genau. Es gibt halt in diesem Fall unendlich viele Lösungen.
Möge die Übung gelingen
Martin
Hallo in die Runde!
Nachtrag:
Die Verbindungsgerade der beiden Rechtecksmittelpunkte (im Fall, dass sie nicht identisch sind) ist nicht die einzige Gerade, die den Restkuchen halbiert.
So gibt es stets eine vertikale Gerade, die das leistet. Beispiel:
(Die lässt sich freilich nicht mehr geometrisch konstruieren, sondern nur numerisch approximieren.)
Steht die Schnittgerade bei der horizontalen Koordinate x, so sei f(x) der links von ihr abgeschnittene Teil.
Man kann - Zusatzaufgabe! - einige Eigenschaften der Funktion f erkennen und dann mit (ein bisschen) höherer (Schul-)Mathematik zeigen, dass es eine solche Gerade geben muss.
Die (noch allgemeinere) Lösung findet man in diesem Video , das auch meine Quelle war.
Viele Grüße
ottogal
Hallo,
Steht die Schnittgerade bei der horizontalen Koordinate x, so sei f(x) der links von ihr abgeschnittene Teil.
Man kann - Zusatzaufgabe! - einige Eigenschaften der Funktion f erkennen und dann mit (ein bisschen) höherer (Schul-)Mathematik zeigen, dass es eine solche Gerade geben muss.
Beweisansatz siehe PN.
Möge die Übung gelingen
Martin
@@ottogal
Eine Gerade, die jedes der beiden Rechtecke halbiert, halbiert auch den Restkuchen.[…] Die Gerade, die die beiden Mittelpunkte verbindet, löst also die Aufgabe.
Das ist ja einfach!
Ich hatte was anderes im Sinn. (Hatte das nur in der Kürze der Zeit nicht aufgeschrieben. Du warst ja schnell mit der Auflösung.)
So gibt es stets eine vertikale Gerade, die das leistet. […] (Die lässt sich freilich nicht mehr geometrisch konstruieren, sondern nur numerisch approximieren.)
Hier wage ich zu widersprechen. Denn genau diese Gerade hatte ich im Sinn.
Die Seitenlängen des fehlenden Kuchenstücks seien a und b. (Dabei ist es egal, welches davon die längere Seite ist.)
Verlängere AB über B hinaus um b zum Punkt E. Wähle F auf BC so, dass CF = a.
Die Sekrechte zu BC durch F schneidet CE in G. Die Parallele zu BC durch G schneidet BE in H und CD in J.
Nach Strahlensatz ist nun FG : a = b : BC, folglich FG · BC = ab. Das Rechteck BHJC ist also genauso groß wie das fehlende Kuchenstück.
Sei K der Mittelpunkt von AH, d.h. die Senkrechte zu AB durch K teilt das Rechteck AHJD in zwei gleiche Teile.
Vom linken Teil schneiden wir das Kuchenstück heraus, vom rechten Teil das gleich große Stück BHJC – wir haben also ABCD wie gewünscht geteilt.
Hatte ich schon erwähnt, dass sich alle genannten Punkte und Geraden mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen?
🖖 Живи довго і процвітай
@@Gunnar Bittersmann
Hab auch noch einen Nachtrag: Ich bin stillschweigend davon ausgegangen, dass sich das ausgeschnittene Kuchenstück vollständig auf einer Seite der Geraden befindet, die den Kuchen teilen soll. So wie es in der ursprünglichen Skizze der Fall ist – was aber nicht erwähnt wurde.
🖖 Живи довго і процвітай
Hallo Gunnar,
auch von mir ein Chapeau! für die pfiffige Idee mit dem Anfügen des zum Fehlstück flächengleichen Rechtecks und die Konstruktion seiner zweiten Seite.
Aber leider stimmt es, dass das nicht funktioniert, falls das leere Rechteck nicht ganz links von der so gefundenen Schnittgeraden liegt. Den Fall auch zu lösen bedarf wohl weiterer Pfiffigkeit...
Viele Grüße
ottogal
P.S.
Sorry für das frühe Spoilern der Lösung.
@@ottogal
auch von mir ein Chapeau! für die pfiffige Idee mit dem Anfügen des zum Fehlstück flächengleichen Rechtecks und die Konstruktion seiner zweiten Seite.
Naja, einfach die Mittelpunkte zu verbinden ist schon um Längen pfiffiger.
P.S.
Sorry für das frühe Spoilern der Lösung.
Kein Problem. Es ist ja niemand gezwungen, die Lösung zu lesen. Hab ich auch nicht, bis ich meine denn endlich mal aufgemalt hatte.
🖖 Живи довго і процвітай
Hallo Gunnar,
die Mittelpunkte zu verbinden ist schon um Längen pfiffiger.
Nee, ich kam einfach nicht auf die Idee, wie man es mit einer senkrechten Linie lösen könnte. Was dann automatisch zur Frage führte, ob eine senkrechte Linie zu sehr inside the box sei und man beyond tellerrand andere Möglichkeiten finden könnte.
Für Ottos Frage nach einem f(x) hab ich auch noch keine Idee (und auch noch keine Zeit für ein Hirnlüftchen gehabt, von Brainstorming ganz zu schweigen). Ottogals Quelle postuliert ja auch nur die Existenz der Funktion, ohne die Funktion selbst zu benennen. Dabei frage ich mich auch, wie in einem allgemeinen Fall die Parameter der Funktion sein sollen - wie "konfiguriere" ich sie für beliebige Rechtecke? Braucht man, um sie formulieren zu können, eine wüste Fallunterscheidung? Bei beliebiger Lage der Rechtecke kann das verflixt viel werden.
Rolf
Hallo,
Nee, ich kam einfach nicht auf die Idee, wie man es mit einer senkrechten Linie lösen könnte. Was dann automatisch zur Frage führte, ob eine senkrechte Linie zu sehr inside the box sei und man beyond tellerrand andere Möglichkeiten finden könnte.
Out-of-de-Box-Denker könnten an eine waagerechte Linie denken.
Andere Möglichkeiten:
Gruß
Kalk
Hallo Gunnar,
Sei K der Mittelpunkt von BH
Meinst Du "Sei K der Mittelpunkt von AH" ?
Deine Konstruktionsidee ist jedenfalls äußerst clever 😀
Ich bin stillschweigend davon ausgegangen...
Man müsste es genauer analysieren, ob bei einem Rechteck wie in der Zusatzaufgabe dein Konstrukt noch gültig ist. Auf den ersten Blick fürchte ich, dass das nicht so ist.
Rolf
@@Rolf B
Sei K der Mittelpunkt von BH
Meinst Du "Sei K der Mittelpunkt von AH" ?
Natürlich. Hab’s korrigiert.
Man müsste es genauer analysieren, ob bei einem Rechteck wie in der Zusatzaufgabe dein Konstrukt noch gültig ist. Auf den ersten Blick fürchte ich, dass das nicht so ist.
Auf den ersten Blick teile ich deine Befürchtung.
🖖 Живи довго і процвітай
Hallo,
Hatte ich schon erwähnt, dass sich alle genannten Punkte und Geraden mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen?
ist das nicht eine notwendige Voraussetzung für das, was man in der Mathematik (Geometrie) als Konstruieren bezeichnet?
Möge die Übung gelingen
Martin
Hallo ottogal,
Man kann - Zusatzaufgabe! - einige Eigenschaften der Funktion f erkennen und dann mit (ein bisschen) höherer (Schul-)Mathematik zeigen, dass es eine solche Gerade geben muss.
Möchtest Du uns anstiften, f ausführlich zu formulieren und die erforderliche Eigenschaft an Hand der Formulierung zu beweisen?!
Rolf
Hallo Rolf,
Möchtest Du uns anstiften, f ausführlich zu formulieren und die erforderliche Eigenschaft an Hand der Formulierung zu beweisen?!
Nein. Es soll nur gezeigt werden, dass dieses f Eigenschaften hat, die sicherstellen, dass es ein x mit f(x)= 0,5 * A gibt (wobei A der Flächeninhalt des Restkuchens ist).
Die Funktion f explizit zu formulieren, dürfte ein Stück Arbeit sein.
Ich vermute, dass sie abschnittsweise linear ist.
Genauer: Die x-Koordinaten der Ecken des Fehlstücks teilen die Definitionsmenge der Funktion in Intervalle, auf denen f jeweils konstante Steigung hat.
Diese x-Werte (und deren Funktionswerte) könnte man mit Trigonometrie ermitteln, wenn man das leere Dreieck als um einen gegebenen Winkel alpha gedrehtes Rechteck mit gegebenen Seitenlängen annimmt.
Aber das würde eine recht mühsame Fallunterscheidung erfordern. (Und so viel Zeit kann ich auch nicht investieren...)
Viele Grüße
ottogal
Hallo,
Ich vermute, dass sie abschnittsweise linear ist.
Genauer: Die x-Koordinaten der Ecken des Fehlstücks teilen die Definitionsmenge der Funktion in Intervalle, auf denen f jeweils konstante Steigung hat.
nicht ganz - sie ist in manchen Intervallen linear, in anderen Intervallen quadratisch. Nämlich dort, wo die senkrechte Schnittgerade das ausgeschnittene Rechteck tatsächlich schneidet. Liegt das innere Rechteck parallel zu den Kanten des umgebenden Rechtecks, ist f(x) auch in diesen Intervallen linear (weil pro dx immer derselbe Betrag zur Fläche hinzukommt), im allgemeinen Fall aber quadratisch, weil der Flächenzuwachs pro dx linear zu- oder abnimmt.
Einen schönen Tag noch
Martin
Hallo ottogal,
abschnittsweise linear, genau.
Ich schreibe gerade eine Funktion auf, die die Fläche links von einer "Sweep"-Geraden beschreibt, die über ein Rechteck mit beliebiger Lage läuft. Dafür braucht es eine Fallunterscheidung von 3 Teilfunktionen, und jede Teilfunktion hat 3 oder 5 Teilfälle.
Wenn man vom Sweep des Kuchens den Sweep des Fehlstücks abzieht, sollte die Gesamtfläche herauskommen.
"Abziehen" hat aber ein Alarmlämpchen an sich. Ist es möglich, das Fehlstück so zu konstruieren, dass der Gesamt-Sweep nicht mehr streng monoton steigend ist? In dem Fall gäbe es zwei oder mehr parallele Schnitte, die den Kuchen halbieren. Das klingt total kontraintuitiv, aber ist dieser Fall möglich? Kann man ggf. sogar das Fehlstück so konstruieren, dass es eine Zone gibt, in der ich beliebig teilen kann? (Meine Annahme wäre, dass das Fehlstück dafür an einer Seite bis zum Rand gehen muss)
Rolf
Hallo,
"Abziehen" hat aber ein Alarmlämpchen an sich. Ist es möglich, das Fehlstück so zu konstruieren, dass der Gesamt-Sweep nicht mehr streng monoton steigend ist?
ja, wenn das innere Rechteck waagrecht steht und seine Ober- und Unterkante mit den Kanten des äußeren Rechtecks zusammenfällt. Dann gibt es einen Abschnitt, in dem f konstant bleibt (ergo nicht streng monotom).
In dem Fall gäbe es zwei oder mehr parallele Schnitte, die den Kuchen halbieren.
Beliebig viele, nämlich alle, die in den sowieso schon ausgeschnittenen Teil fallen.
Das klingt total kontraintuitiv, aber ist dieser Fall möglich? Kann man ggf. sogar das Fehlstück so konstruieren, dass es eine Zone gibt, in der ich beliebig teilen kann? (Meine Annahme wäre, dass das Fehlstück dafür an einer Seite bis zum Rand gehen muss)
Sogar an beiden!! 😉
Einen schönen Tag noch
Martin
@@ottogal
Aber das würde eine recht mühsame Fallunterscheidung erfordern.
Es sind doch nur drei Fälle, oder?
🖖 Живи довго і процвітай
Hallo Gunnar,
Aber das würde eine recht mühsame Fallunterscheidung erfordern.
Es sind doch nur drei Fälle, oder?
- Die den Kuchen teilende Gerade geht nicht durch das fehlende Stück.
- Die den Kuchen teilende Gerade teilt das fehlende Stück in ein Dreieck und ein Fünfeck.
- Die den Kuchen teilende Gerade teilt das fehlende Stück in zwei Vierecke.
sehe ich auch so, nur dass deine Fälle 1 und 2 je zweimal auftreten können, wenn die Schnittgerade vom Ursprung aus nach rechts wandert. Das ergibt also bis zu 5 Intervalle, die man betrachten muss.
Einen schönen Tag noch
Martin
@@Gunnar Bittersmann
Es sind doch nur drei Fälle, oder?
- Die den Kuchen teilende Gerade geht nicht durch das fehlende Stück.
- Die den Kuchen teilende Gerade teilt das fehlende Stück in ein Dreieck und ein Fünfeck.
- Die den Kuchen teilende Gerade teilt das fehlende Stück in zwei Vierecke.
Noch einen vergessen:
2½. Die den Kuchen teilende Gerade teilt das fehlende Stück in ein Dreieck und ein Viereck.
Der Fall tritt beim Übergang von 2 zu 3 ein.
🖖 Живи довго і процвітай
Hallo,
2½. Die den Kuchen teilende Gerade teilt das fehlende Stück in ein Dreieck und ein Viereck.
Der Fall tritt beim Übergang von 2 zu 3 ein.
2¼. Der Fall ist ein Spezialfall und tritt nich zwangsläufig ein.
Gruß
Kalk
@@Tabellenkalk
2½. Die den Kuchen teilende Gerade teilt das fehlende Stück in ein Dreieck und ein Viereck.
Der Fall tritt beim Übergang von 2 zu 3 ein.
2¼. Der Fall ist ein Spezialfall und tritt nich zwangsläufig ein.
Nicht?
🖖 Живи довго і процвітай
Hi,
2½. Die den Kuchen teilende Gerade teilt das fehlende Stück in ein Dreieck und ein Viereck.
Der Fall tritt beim Übergang von 2 zu 3 ein.
2¼. Der Fall ist ein Spezialfall und tritt nich zwangsläufig ein.
Nicht?
Wenn die Kanten des gefressenen Stücks parallel zu den Kanten des Kuchenblechs sind …
cu,
Andreas a/k/a MudGuard
Es fehlt auf jeden Fall die Variante, dass die Gerade das gegessene Stück in 2 Dreiecke teilt.
@@Friedel
Es fehlt auf jeden Fall die Variante, dass die Gerade das gegessene Stück in 2 Dreiecke teilt.
Stimmt.
Aber man muss wohl weder diesen noch den 2½ gesondert betrachten. Durch zusammenfallende Punkte entartet ein Fünfeck bzw. Viereck zum Dreieck.
Die ominöse Funktion f sollte stetig sein, d.h. diese Fälle kann man als Grenzwert von Fall 2 betrachten.
🖖 Живи довго і процвітай
@@MudGuard
2½. Die den Kuchen teilende Gerade teilt das fehlende Stück in ein Dreieck und ein Viereck.
Der Fall tritt beim Übergang von 2 zu 3 ein.
2¼. Der Fall ist ein Spezialfall und tritt nich zwangsläufig ein.
Nicht?
Wenn die Kanten des gefressenen Stücks parallel zu den Kanten des Kuchenblechs sind …
Dann ist das nicht der Übergang von 2 zu 3, sondern von 1 zu 3.
🖖 Живи довго і процвітай
Nicht?
Äh, ich sollte aufhören, meinem inneren Auge zu trauen. Und ohne Zeichnung hab ich auch schon vergessen, was ich da meinte gesehen zu haben.…
Gruß
Kalk
Hallo in die Runde,
ich habe mir inzwischen doch etwas Zeit genommen und versucht, die fragliche Funktion zu ermitteln - wenigstens für einen Fall.
Gegeben sind:
$$b$$, $$c$$, $$d$$ seien die x-Koordinaten der übrigen Ecken $$B$$, $$C$$, $$D$$.
Wir betrachten den Fall,
dass $$\alpha$$ positiv ist und so klein, dass $$c$$ nicht links von $$a$$ liegt;
das ist gleichbedeutend mit $$u\leq v$$.
Zur Abkürzung setzen wir
$$u=a-d=b-c$$,
$$v=c-d=b-a$$,
$$s=AE=FC$$,
$$z=\dfrac{s}{2u}$$.
$$\mathcal{A_{\triangle}}$$ bezeichne die Fläche von $$\triangle AED$$ bzw. $$\triangle CFB$$.
Man liest ab:
$$u=p \sin \alpha \quad$$ und $$\quad v=q \cos \alpha$$.
(Die obige Voraussetzung $$u\leq v$$ ist somit gleichbedeutend mit
$$\tan \alpha \leq \dfrac{q}{p}$$, also $$\quad \alpha \leq \arctan \dfrac{q}{p}$$.)
Ferner ist
$$s=\dfrac{p}{\cos \alpha}$$, daher
$$\mathcal{A_{\triangle}} = \frac{1}{2} su = \frac{1}{2}p^2 \tan \alpha$$
und folglich
$$z = \dfrac{\mathcal{A_{\triangle}}}{u^2} = \dfrac{1}{2\cos\alpha \sin\alpha}$$.
$$x$$ sei die Stelle, bei der die vertikale Schnittgerade die x-Ache schneidet.
Die gesuchte Funktion $$f$$ für den grünen Flächenteil hat auf den durch $$0$$, $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ und $$w$$ begrenzten Teilintervallen unterschiedliche Funktionsterme - abwechselnd lineare und quadratische.
(Wir nehmen jeweils die geschlossenen Teilintervalle als Definitionsmenge; an den gemeinsamen Trennstellen a, b, c, d stimmen jeweils die Funktionswerte der benachbarten Teilfunktionen überein: f ist überall stetig!)
Ich habe folgende Teilfunktionen gefunden:
Intervall $$[0; d]$$:
$$\quad f_{1}(x) = hx$$
Intervall $$[d; a]$$:
$$\quad f_{2}(x) = hx -z(x-d)^2$$
Intervall $$[a; c]$$:
$$\quad f_{3}(x) = (h-s)x + \frac{1}{2}s(d+a)$$
Intervall $$[c; b]$$:
$$\quad f_{4}(x) = z(b-x)^2 + hx - pq$$
Intervall $$[b; w]$$:
$$\quad f_{5}(x) = hx - pq$$
Die anderen Fälle
lassen sich durch Spielen mit der Geogebra-Zeichnung inspizieren, von der das obige Bild einen Zustand zeigt: https://www.geogebra.org/m/ad5bcanp
Mit den Schiebereglern lassen sich die Werte der gegebenen Größen variieren (insbesondere natürlich $$\alpha$$), der Punkt A lässt sich vertikal verschieben. (Freilich muss man darauf achten, dass das kleine Rechteck nicht aus dem großen herausragt.)
Der x-Wert der roten Schnittlinie lässt sich durch Verschieben des roten Punktes ändern.
Man erkennt, welche Änderungen gegenüber dem oben behandelten Fall nötig wären - im wesentlichen ist die Situation die gleiche.
Vielleicht hats ja doch noch jemand interessant gefunden...
Viele Grüße und ein schönes Wochenende
ottogal
Gunnar Bittersmann
Tabellenkalk
Friedel