Schönwetter-Geometrie

[Rolf B]

Für die, die gerne Unklarheiten suchen: Das ist ein Halbkreis von A nach B, darauf liegen die Punkte Q, C und S. P und R liegen auf der Grundlinie.

Die Punkte definieren die Dreiecke APQ, PRC und RBS. Der Winkel bei A beträgt 70°, der Winkel bei B beträgt 65°.

Für Winkel, die mit Strichen markiert sind, gilt: Winkel mit gleicher Strichezahl sind gleich groß.

Wie groß ist der Winkel bei C?

(Eine Aufgabe von Segar Rogers, retweetet (damals sagte man das noch so) von - wem wohl - Catriona Agg)

Rolf

[Linuxer]

Ich habe keine Lösung. Gibt es den eine?

[Rolf B]

Hallo Linuxer,

Klar. Ich hab eine, für die ich viel zu lange gebraucht habe, und bisher kam eine Einsendung (wie immer als "Nachricht an den Autor") von Ottogal.

Man braucht eine ganz bestimmte Idee und einen Lehrsatz über Winkel und Kreise. Und dann fragt man sich, wie immer bei diesen Aufgaben, warum man da nicht gleich drauf kam.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Klar. Ich hab eine, für die ich viel zu lange gebraucht habe, und bisher kam eine Einsendung (wie immer als "Nachricht an den Autor") von Ottogal.

Bei mir hat’s auch ’ne Weile gedauert, aber jetzt hab ich’s auch.

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[Volker P.]

Mit dem Lehrsatz über Winkel und Kreise werden sich wohl die wenigsten auskennen. Ich habe auch etwas herumprobiert und fand keine Lösung. Ich denke, nach einer Woche, kann man schon die Lösung präsentieren.

Herzlichen Gruß Volker

[encoder]

Ich denke, nach einer Woche, kann man schon die Lösung präsentieren.

Oder einen Hinweis. Ich suche auch schon lange, aber ich sehe nichts.

[Rolf B]

Hallo Volker,

für eine Lösung müsste es erstmal Schönwetter werden. Das fällt im Moment eher aus.

Aber ich habe bei Gunnars Schönwetterbild mal einen Tipp gegeben.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Sieht aus wie die Drei Kronen in den Pieninen.

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[Rolf B]

Hallo Gunnar,

schöne Gegend. Vor allem direkt vor der Kamera 😋

Die, die einen Tipp wünschen, vervollständigen den Kreis, klappen den mittleren Gipfel nach unten und konsultieren Herrn Thales und/oder den Peripheriewinkelsatz 😉

Und wer das dann raus hat, weiß auch bestimmt, wie sich der Winkel bei C allgemein berechnet, wenn die Winkel bei A und B gegeben sind (vorausgesetzt ist nur, dass (1) AB einen Kreisdurchmesser bildet, (2) die Punkte A, Q, S und B im Uhrzeigersinn angeordnet sind und (3) C auf der gleichen Seite wie Q und S liegt). Die Reihenfolge A,S,Q,B ist auch möglich, aber den Winkel bei C muss man dann negativ auffassen.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

schöne Gegend. Vor allem direkt vor der Kamera 😋

Wenngleich ich da anmerken muss, dass Apfelstrudel besser zum Vanilleeis passt als Apfelkuchen.

Fun fact: Die Bezeichnung szarlotka (Apfelkuchen) wird im Polnischen auch für Apfelsaft mit Żubrówka^[1] (Büffelgraswodka) verwendet. Prost! 🥂

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PS: Es gibt bisher weder „alkohol“ noch „getränk“ noch „kulinarisches“ als Tag. Hätte ich das gleich mal anlegen sollen? 🤔

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1. Sprich: [ʐuˈbrufka]; in Deutschland auch als „Grasovka“ vertrieben. Wenngleich ich beim direkten Vergleich feststellte, dass der aus Polen mitgebrachte Żubrówka geringfügig anders schmeckt als der hier gekaufte Grasovka. ↩︎

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Es gibt bisher weder „alkohol“ noch „getränk“ noch „kulinarisches“ als Tag. Hätte ich das gleich mal anlegen sollen?

Lass mal. Tag-Flut ist Toms Aufgabe.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Sprich: [ʐuˈbrufka]; in Deutschland auch als „Grasovka“ vertrieben. Wenngleich ich beim direkten Vergleich feststellte, dass der aus Polen mitgebrachte Żubrówka geringfügig anders schmeckt als der hier gekaufte Grasovka.

Symbolbild:

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[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Das schöne Wetter ist nun vorbei, oder?

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[Rolf B]

Hallo Gunnar,

hast ja recht.

Das folgende Bild ist aus dieser Geogebra-Zeichnung erstellt worden. Ich habe nur versehentlich den Ort von 70° und 65° verwechselt. Macht nichts 😉

Die Winkel bei A und B seien α=65° und β=70°.

Beginnen wir mit dem Thalessatz. Aus ihm folgt, dass der Winkel $$?_1$$ ein rechter Winkel ist. Damit ergibt sich für $$?_2$$ der Wert 25° (180°-90°-α) und daraus folgt für $$?_3$$ der Wert 45° (β-(90°-α)=α+β-90°)

Als nächstes spiegeln wir den Punkt C am Durchmesser AB. Durch die Spiegelung sind die Winkel ∠RPC und ∠C'PR gleich groß. ∠QPA ist ohnehin gleich ∠RPC. Demnach liegen Q, P und C' auf einer Geraden. Für S, R und C' gilt die analoge Begründung.

Bei QSC' handelt es sich also um ein Dreieck, und $$?_4$$ ist ein Peripheriewinkel (oder Umfangswinkel) über QS. $$?_3$$ ist aber ebenfalls ein solcher Peripheriewinkel und darum ist $$?_4 = ?_3 = 45^\circ$$, bzw. verallgemeinert α+β-90°.

Einsendungen kamen von Ottogal (zwei Varianten), Gunnar Bittersmann und Tabellenkalk.

Ottogals erste Lösung funktionierte ähnlich wie meine, er hat lediglich Q und S gespiegelt statt C. Dann hat er gemerkt, dass das Spiegeln von C einfacher ist, und mir das auch nochmal geschickt 😀

Gunnar hat einen anderen Weg:

Er hat die Dreiecke AMQ und SMB betrachtet. Diese sind gleichschenklig (zwei Seiten sind der Kreisradius), womit die Basiswinkel gleich sind und sich die Spitzenwinkel bei M zu 40° und 50° ergeben. Für SMQ bleiben damit 90° übrig. Und jetzt kommt der Zentriwinkelsatz zum Tragen: Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel über der gleichen Sehne. Woraus dann die 45° bei C folgen.

Die gleiche Idee hatte auch Tabellenkalk, er hatte nur im Urlaub keine Lust auf Skizzen.

Danke für's Mitmachen 😀
Rolf

[ottogal]

... Woraus dann die 45° bei C folgen.

Muss heißen "Woraus dann die 45° bei C' folgen."

Die Spiegelung von C' nach C braucht es dann schon noch; hat Gunnar sicher auch drin.

[Rolf B]

Hallo ottogal,

ja, die Information, dass die Winkel bei C und C' wegen der Spiegelung gleich sind, sollte man noch einfügen.

Gunnar hat es auch nicht notiert, sondern als offensichtlich vorausgesetzt.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

ja, die Information, dass die Winkel bei C und C' wegen der Spiegelung gleich sind, sollte man noch einfügen.

Gunnar hat es auch nicht notiert, sondern als offensichtlich vorausgesetzt.

Hehe, ich schrub: „Der zugehörige Peripheriewinkel über demselben Bogen SQ ist halb so groß“ (das ist der Winkel bei Cʹ), „also auch ∡PCR = 45°“ (das ist der Winkel bei C).

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[ottogal]

„also auch ∡PCR = 45°“ (das ist der Winkel bei C).

Hinter diesem "also" steckt ja der Knackpunkt der Lösung, und der verdient schon explizite Erwähnung...