@@Gunnar Bittersmann > Gesucht sind die Lösungen *x* ∈ ℝ > > a) $$8^x + 2^x = 130$$ $$8^x + 2^x = 2^{3x} + 2^x = \left( 2^x \right)^3 + 2^x = 130$$ Wir substituieren $$2^x =: t$$ und erhalten *t*³ + *t* = 130. Durch genaues Hinkucken 😉 findet man *t*₁ = 5. Polynomdivision: (*t*³ + *t* − 130) : (*t* − 5) = *t*² + 5*t* + 26, was wegen (⁵⁄₂)² − 26 < 0 keine reellen Nullstellen hat. Erwähnenswert die Argumentation von @ottogal: Die Ableitung 3*t*² + 1 ist im ganzen Bereich positiv; *t*³ + *t* − 130 also streng monoton steigend und hat demzufolge nur eine reelle Nullstelle. $$2^x = 5$$ nach *x* aufgelöst ergibt ***x* = log₂ 5**. > Und damit’s nicht bloß Mathematik zum Freitagvormittag wird, gleich noch eine: > > b) $$9^x - 6^x = 4^x$$ Sieht auf den ersten Blick komplizierter aus, weil 3 Terme mit *x* im Exponenten involviert sind. Wir teilen durch $$4^x \ne 0$$: $$\left( \frac{9}{4} \right)^x - \left( \frac{6}{4} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} - \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1$$ und schon sieht’s nicht mehr so kompliziert aus. Wir substituieren $$\left( \frac{3}{2} \right)^x =: t$$ und erhalten *t*² − *t* = 1 mit den Lösungen ½ ± ½√5 *(Hallo, goldener Schnitt, da bist du ja wieder!)*, wobei die negative Lösung wegen *t* > 0 entfällt. $$x = \log_\frac{3}{2} \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right) = \dfrac {\ln \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right)}{\ln \frac{3}{2}} = \dfrac {\ln \left( 1 + \sqrt5 \right) - \ln2}{\ln3 - \ln2} ≈ 1.1868$$ (Quellen: YouTube, wobei man beide Videos mit mindestens doppelter Geschwindigkeit kucken sollte – wenn überhaupt. [a](https://www.youtube.com/watch?v=fEkIkRhlO2s), [b](https://www.youtube.com/watch?v=zHBqW7uhJlk)) 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *„Ukončete, prosím, výstup a nástup, dveře se zavírají.“*{:@cs}

@@Gunnar Bittersmann > Gesucht sind die Lösungen *x* ∈ ℝ > > a) $$8^x + 2^x = 130$$ $$8^x + 2^x = 2^{3x} + 2^x = \left( 2^x \right)^3 + 2^x = 130$$ Wir substituieren $$2^x =: t$$ und erhalten *t*³ + *t* = 130. Durch genaues Hinkucken 😉 findet man *t*₁ = 5. Polynomdivision: (*t*³ + *t* − 130) : (*t* − 5) = *t*² + 5*t* + 26, was wegen (⁵⁄₂)² − 26 < 0 keine reellen Nullstellen hat. Erwähnenswert die Argumentation von @ottogal: Die Ableitung 3*t*² + 1 ist im ganzen Bereich positiv; *t*³ + *t* − 130 also streng monoton steigend und hat demzufolge nur eine reelle Nullstelle. $$2^x = 5$$ nach *x* aufgelöst ergibt ***x* = log₂ 5**. > Und damit’s nicht bloß Mathematik zum Freitagvormittag wird, gleich noch eine: > > b) $$9^x - 6^x = 4^x$$ Sieht auf den ersten Blick komplizierter aus, weil 3 Terme mit *x* im Exponenten involviert sind. Wir teilen durch $$4^x \ne 0$$: $$\left( \frac{9}{4} \right)^x - \left( \frac{6}{4} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} - \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1$$ und schon sieht’s nicht mehr so kompliziert aus. Wir substituieren $$\left( \frac{3}{2} \right)^x =: t$$ und erhalten *t*² − *t* = 1 mit den Lösungen ½ ± ½√5 *(Hallo, goldener Schnitt, da bist du ja wieder!)*, wobei die negative Lösung wegen *t* > 0 entfällt. $$x = \log_\frac{3}{2} \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right) = \dfrac {\ln \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right)}{\ln \left( \frac{3}{2} \right)} = \dfrac {\ln \left( 1 + \sqrt5 \right) - \ln2}{\ln3 - \ln2} ≈ 1.1868$$ (Quellen: YouTube, wobei man beide Videos mit mindestens doppelter Geschwindigkeit kucken sollte – wenn überhaupt. [a](https://www.youtube.com/watch?v=fEkIkRhlO2s), [b](https://www.youtube.com/watch?v=zHBqW7uhJlk)) 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *„Ukončete, prosím, výstup a nástup, dveře se zavírají.“*{:@cs}

@@Gunnar Bittersmann > Gesucht sind die Lösungen *x* ∈ ℝ > > a) $$8^x + 2^x = 130$$ $$8^x + 2^x = 2^{3x} + 2^x = \left( 2^x \right)^3 + 2^x = 130$$ Wir substituieren $$2^x =: t$$ und erhalten *t*³ + *t* = 130. Durch genaues Hinkucken 😉 findet man *t*₁ = 5. Polynomdivision: (*t*³ + *t* − 130) : (*t* − 5) = *t*² + 5*t* + 26, was wegen (⁵⁄₂)² − 26 < 0 keine reellen Nullstellen hat. Erwähnenswert die Argumentation von @ottogal: Die Ableitung 3*t*² + 1 ist im ganzen Bereich positiv; *t*³ + *t* − 130 also streng monoton steigend und hat demzufolge nur eine reelle Nullstelle. $$2^x = 5$$ nach *x* aufgelöst ergibt ***x* = log₂ 5**. > Und damit’s nicht bloß Mathematik zum Freitagvormittag wird, gleich noch eine: > > b) $$9^x - 6^x = 4^x$$ Sieht auf den ersten Blick komplizierter aus, weil 3 Terme mit *x* im Exponenten involviert sind. Wir teilen durch $$4^x \ne 0$$: $$\left( \frac{9}{4} \right)^x - \left( \frac{6}{4} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} - \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1$$ und schon sieht’s nicht mehr so kompliziert aus. Wir substituieren $$\left( \frac{3}{2} \right)^x =: t$$ und erhalten *t*² − *t* = 1 mit den Lösungen ½ ± ½√5 *(Hallo, goldener Schnitt, da bist du ja wieder!)*, wobei die negative Lösung wegen *t* > 0 entfällt. $$x = \log_\frac{3}{2} \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right) = \dfrac {\ln \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right)}{\ln \left( \frac{3}{2} \right)} = \dfrac {\ln \left( 1 + \sqrt5 \right) - \ln2}{\ln3 - \ln2} ≈ 1.1868$$ (Quellen: YouTube, wobei man beide Video mit mindestens doppelter Geschwindigkeit kucken sollte – wenn überhaupt. [a](https://www.youtube.com/watch?v=fEkIkRhlO2s), [b](https://www.youtube.com/watch?v=zHBqW7uhJlk)) 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *„Ukončete, prosím, výstup a nástup, dveře se zavírají.“*{:@cs}

@@Gunnar Bittersmann > Gesucht sind die Lösungen *x* ∈ ℝ > > a) $$8^x + 2^x = 130$$ $$8^x + 2^x = 2^{3x} + 2^x = \left( 2^x \right)^3 + 2^x = 130$$ Wir substituieren $$2^x =: t$$ und erhalten *t*³ + *t* = 130. Durch genaues Hinkucken 😉 findet man *t*₁ = 5. Polynomdivision: (*t*³ + *t* − 130) : (*t* − 5) = *t*² + 5*t* + 26, was wegen (⁵⁄₂)² − 26 < 0 keine reellen Nullstellen hat. Erwähnenswert die Argumentation von @ottogal: Die Ableitung 3*t*² + 1 ist im ganzen Bereich positiv; *t*³ + *t* − 130 also streng monoton steigend und hat demzufolge nur eine reelle Nullstelle. $$2^x = 5$$ nach *x* aufgelöst ergibt ***x* = log₂ 5**. > Und damit’s nicht bloß Mathematik zum Freitagvormittag wird, gleich noch eine: > > b) $$9^x - 6^x = 4^x$$ Sieht auf den ersten Blick komplizierter aus, weil 3 Terme mit *x* im Exponenten involviert sind. Wir teilen durch $$4^x \ne 0$$: $$\left( \frac{9}{4} \right)^x - \left( \frac{6}{4} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} - \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1$$ und schon sieht’s nicht mehr so kompliziert aus. Wir substituieren $$\left( \frac{3}{2} \right)^x =: t$$ und erhalten *t*² − *t* = 1 mit den Lösungen ½ ± ½√5 *(Hallo, goldener Schnitt, da bist du ja wieder!)*, wobei die negative Lösung wegen *t* > 0 entfällt. $$x = \log_\frac{3}{2} \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right) = \dfrac {\ln \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right)}{\ln \left( \frac{3}{2} \right)} = \dfrac {\ln \left( 1 + \sqrt5 \right) - \ln2}{\ln3 - \ln2} ≈ 1.1868$$ Quellen: YouTube, wobei man beide Video mit mindestens doppelter Geschwindigkeit kucken sollte – wenn überhaupt. [a](https://www.youtube.com/watch?v=fEkIkRhlO2s), [b](https://www.youtube.com/watch?v=zHBqW7uhJlk) 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *„Ukončete, prosím, výstup a nástup, dveře se zavírají.“*{:@cs}

@@Gunnar Bittersmann > Gesucht sind die Lösungen *x* ∈ ℝ > > a) $$8^x + 2^x = 130$$ $$8^x + 2^x = 2^{3x} + 2^x = \left( 2^x \right)^3 + 2^x = 130$$ Wir substituieren $$2^x =: t$$ und erhalten *t*³ + *t* = 130. Durch genaues Hinkucken 😉 findet man *t*₁ = 5. Polynomdivision: (*t*³ + *t* − 130) : (*t* − 5) = *t*² + 5*t* + 26, was wegen (⁵⁄₂)² − 26 < 0 keine reellen Nullstellen hat. Erwähnenswert die Argumentation von @ottogal: Die Ableitung 3*t*² + 1 ist im ganzen Bereich positiv; *t*³ + *t* − 130 also streng monoton steigend und hat demzufolge nur eine reelle Nullstelle. $$2^x = 5$$ nach *x* aufgelöst ergibt ***x* = log₂ 5**. > Und damit’s nicht bloß Mathematik zum Freitagvormittag wird, gleich noch eine: > > b) $$9^x - 6^x = 4^x$$ Sieht auf den ersten Blick komplizierter aus, weil 3 Terme mit *x* im Exponenten involviert sind. Wir teilen durch $$4^x \ne 0$$: $$\left( \frac{9}{4} \right)^x - \left( \frac{6}{4} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} - \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1$$ und schon sieht’s nicht mehr so kompliziert aus. Wir substituieren $$\left( \frac{3}{2} \right)^x =: t$$ und erhalten *t*² − *t* = 1 mit den Lösungen ½ ± ½√5 *(Hallo, goldener Schnitt, da bist du ja wieder!)*, wobei die negative Lösung wegen *t* > 0 entfällt. $$x = \log_\frac{3}{2} \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right) = \dfrac {\ln \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right)}{\ln \left( \frac{3}{2} \right)} = \dfrac {\ln \left( 1 + \sqrt5 \right) - \ln2}{\ln3 - \ln2} ≈ 1.1868$$ 🖖 Живіть довго і процвітайте {:@uk} -- *„Ukončete, prosím, výstup a nástup, dveře se zavírají.“*{:@cs}