Mathematik zum Wochenende – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Gesucht sind die Lösungen x ∈ ℝ

a) $$8^x + 2^x = 130$$

$$8^x + 2^x = 2^{3x} + 2^x = \left( 2^x \right)^3 + 2^x = 130$$

Wir substituieren $$2^x =: t$$ und erhalten t³ + t = 130. Durch genaues Hinkucken 😉 findet man t₁ = 5.

Polynomdivision: (t³ + t − 130) : (t − 5) = t² + 5t + 26, was wegen (⁵⁄₂)² − 26 < 0 keine reellen Nullstellen hat.

Erwähnenswert die Argumentation von @ottogal: Die Ableitung 3t² + 1 ist im ganzen Bereich positiv; t³ + t − 130 also streng monoton steigend und hat demzufolge nur eine reelle Nullstelle.

$$2^x = 5$$ nach x aufgelöst ergibt x = log₂ 5.

Und damit’s nicht bloß Mathematik zum Freitagvormittag wird, gleich noch eine:

b) $$9^x - 6^x = 4^x$$

Sieht auf den ersten Blick komplizierter aus, weil 3 Terme mit x im Exponenten involviert sind. Wir teilen durch $$4^x \ne 0$$:

$$\left( \frac{9}{4} \right)^x - \left( \frac{6}{4} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} - \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1$$

und schon sieht’s nicht mehr so kompliziert aus. Wir substituieren $$\left( \frac{3}{2} \right)^x =: t$$ und erhalten t² − t = 1 mit den Lösungen ½ ± ½√5 (Hallo, goldener Schnitt, da bist du ja wieder!), wobei die negative Lösung wegen t > 0 entfällt.

$$x = \log_\frac{3}{2} \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right) = \dfrac {\ln \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right)}{\ln \frac{3}{2}} = \dfrac {\ln \left( 1 + \sqrt5 \right) - \ln2}{\ln3 - \ln2} ≈ 1.1868$$

(Quellen: YouTube, wobei man beide Videos mit mindestens doppelter Geschwindigkeit kucken sollte – wenn überhaupt. a, b)

🖖 Живіть довго і процвітайте