Mathematik zum Wochenanfang

[Gunnar Bittersmann]

Wie groß ist der Radius des gelben Kreises?

🖖 Живіть довго і процвітайте

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

nachdem ich jetzt eine Lösung habe, hab ich mal bei Catriona vorbeigeschaut, ich dachte, die Aufgabe wäre vielleicht von ihr.

Aber nix da, andere Quelle. Ich habe nur die Erkenntnis gewonnen: nachdem Big E seinen Twitter entzwitschert und in ein Big X konvertiert hat, ist das Ding ja endgültig zum 🤮…

Rolf

[MudGuard]

Hi,

Ich habe nur die Erkenntnis gewonnen: nachdem Big E seinen Twitter entzwitschert und in ein Big X konvertiert hat, ist das Ding ja endgültig zum 🤮…

naja, das ist ja dann der Hinweis, daß man Twitter (oder wie es jetzt heißt …) löschen soll - das X steht doch in vielen Programmen für "Löschen" …

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[GETTR-User]

Twitter oder wie es jetzt heißt, gibt es noch?

GETTR is BETTR!! gettr.com

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

3× Pythagoras (der Übersichtlichkeit wegen nur eins der Dreiecke reingemalt):

(2 + r)² = (2 − r)² + p²
(4 + r)² = (4 − r)² + q²
(4 + 2)² = (4 − 2)² + (p + q)²

also:
  8r = p²
16r = q²
  32 = p² + 2pq + q²

Die ersten beiden miteinander multipliziert: 128r² = p²q², also pq = 8r √2.

In die dritte eingesetzt: 32 = 24r + 16r √2, ergibt r = 12 − 8 √2.

Quelle der Aufgabe: YouTube. Den dortigen Lösungsweg hab ich mir nicht angesehen; die Viertelstunde kann man sich vermutlich sparen.

🖖 Живіть довго і процвітайте

[ottogal]

Hallo in die Runde!

Man wendet im Prinzip dreimal einen Hilfssatz an, jeweils bezogen auf 2 der 3 fraglichen Kreise:

Hilfssatz:

Gegeben sind zwei Kreise mit der gemeinsamen Tangente AB, die sich im Punkt T berühren und die Radien a = MA und b = NB haben.
Dann gilt: Die Strecke AB hat die Länge
2√(ab).

Das lässt sich (wie von Gunnar) mit Pythagoras beweisen:
AB² = (b + a)² −  (b − a)² = 4ab, also
AB = 2√(ab).

Pythagoras ist halt immer etwas langweilig - deshalb noch ein Beweis ohne ihn (dafür mit Höhensatz):

Die Tangente durch T an beide Kreise schneidet AB in S. Die (roten) Tangentenabschnitte SA, ST und SB haben alle die gleiche Länge t, und die Dreiecke SMA, SMT, SNT und SNB sind alle rechtwinklig und haben jeweils die gleichen spitzen Winkel $$\alpha$$ und $$\beta$$ (mit $$\alpha+\beta=90°$$).

Der Winkel $$\angle{NSM}$$ hat folglich ebenfalls 90°.
Der Höhensatz im Dreieck NMS liefert nun

t² = ab, also t = √(ab).

Somit ist AB = 2t = 2√(ab).

Zur eigentlichen Aufgabe:

Der gesuchte Kreis habe den Radius r und berühre AB im Punkt C.
Wir wenden den Hilfssatz dreimal an:
Mit a = 2 und b = r:
Es folgt AC = 2√(2r).
Mit a = r und b = 4:
Es folgt CB = 2√(4r) = 4√r
Mit a = 2 und b = 4:
Es folgt AB= 2√8 = 4√2
Wegen AC + CB = AB folgt (nach Division durch 2):
√(2r) + 2√r = 2√2.
Diese Gleichung lässt sich nach r auflösen:
√r (√2 + 2) = 2√2
√r (2 + √2) (2 − √2) = 2√2 (2 − √2)
√r (4 − 2) = 4√2 − 4
√r = 2√2 − 2
r = 8 − 8√2 +4
r = 12 − 8√2.

Viele Grüße aus dem Urlaub
ottogal