Mathematik zum Dienstag – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von x + xy + y = 54.

Ich hatte die Aufgabe zunächst gelöst, ohne mir das Video anzuschauen. Dazu später mehr.

Einfacher geht’s wie auch im Video gezeigt (7½ Minuten; kann man aber auch in doppelter Geschwindigkeit ansehen, ohne was zu verpassen):

Wir versuchen, aus der Summe auf der linken Seite ein Produkt zu machen. x, xy und y erhalten wir aus (x + 1)(y + 1) = x + xy + y + 1.

x + xy + y = 54
x + xy + y + 1 = (x + 1)(y + 1) = 55.

Da nur positive ganzzahlige Lösungen gesucht sind, muss die 55 in zwei positive ganzzahlige Faktoren zerlegt werden, die ≥2 sein müssen (wegen x, y ≥ 1). Der eine muss 5 sein, der andere 11. Die Lösungen für (x, y) sind also (4, 10) und (10, 4).

Bei Rolfs Zusatzaufgabe (x, y ∈ ℤ) entfällt die Einschränkung; man muss sich auch die Zerlegungen 1 × 55, −1 × (−55) und −5 × (−11) ansehen, woraus sich zusätzliche Lösungen (0, 54), (54, 0), (−2, −56), (−56, −2), (−6, −12) und (−12, −6) ergeben.

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Rolfs andere Zusatzaufgabe x + 2xy + y = 49 geht ebenso zu lösen; für die Zerlegung verwenden wir hier (2x + 1)(2y + 1) = 2x + 4xy + 2y + 1.

x + 2xy + y = 49
2x + 4xy + 2y = 98
2x + 4xy + 2y + 1 = (2x + 1)(2y + 1) = 99

99 lässt sich ganzzahlig nur in 3 × 33 und in 9 × 11 zerlegen (1 × 99 entfällt wieder wegen x, y ≥ 1), was zu den Lösungen (1, 16), (16, 1), (4, 5) und (5, 4) führt.

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Bei der Zusatzaufgabe zur Zusatzaufgabe x + 3xy + y = 16 ist nun unschwer zu erraten, dass wir (3x + 1)(3y + 1) = 3x + 9xy + 3y + 1 verwenden.

x + 3xy + y = 16
3x + 9xy + 3y = 48
3x + 9xy + 3y + 1 = (3x + 1)(3y + 1) = 49

49 zerlegt in 7 × 7 ergibt als einzige Lösung (2, 2).

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