Mathematik zum Dienstag

[Gunnar Bittersmann]

Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von x + xy + y = 54.

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PS: Lösungen wie immer bitte nicht hier posten, sondern per DM (Post) an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf.

[Hank]

Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von x + xy + y = 54.

Interessant.
Weiß nicht, ob ich selber drauf gekommen wäre, aber die Lösung ist cool.

[Rolf B]

Hallo,

die Zusatzaufgabe lautet: Was ändert sich, wenn man das Wort „positiv“ streicht? Oder, so wie ich, einfach überliest?

Rolf

[MudGuard]

Hi,

die Zusatzaufgabe lautet: Was ändert sich, wenn man das Wort „positiv“ streicht? Oder, so wie ich, einfach überliest?

Die Vorzeichen! 😉

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Tabellenkalk]

Hallo,

die Zusatzaufgabe lautet: Was ändert sich, wenn man das Wort „positiv“ streicht? Oder, so wie ich, einfach überliest?

Die Vorzeichen! 😉

seit Corona ist negativ das neue positiv!

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

in der Tat. Meine vorige Woche war nicht so dolle; das einzig positive war der Covid-Test.

Rolf

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von x + xy + y = 54.

Und wem das zu einfach ist, der suche die für x + 2xy + y = 49.

Nach Behauptung der veröffentlichenden Youtuber beides aus Matheolympiaden.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Und wem das zu einfach ist, der suche die für x + 2xy + y = 49.

Und danach dann die für x + 3xy + y = 16‽

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[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von x + xy + y = 54.

Ich hatte die Aufgabe zunächst gelöst, ohne mir das Video anzuschauen. Dazu später mehr.

Einfacher geht’s wie auch im Video gezeigt (7½ Minuten; kann man aber auch in doppelter Geschwindigkeit ansehen, ohne was zu verpassen):

Wir versuchen, aus der Summe auf der linken Seite ein Produkt zu machen. x, xy und y erhalten wir aus (x + 1)(y + 1) = x + xy + y + 1.

x + xy + y = 54
x + xy + y + 1 = (x + 1)(y + 1) = 55.

Da nur positive ganzzahlige Lösungen gesucht sind, muss die 55 in zwei positive ganzzahlige Faktoren zerlegt werden, die ≥2 sein müssen (wegen x, y ≥ 1). Der eine muss 5 sein, der andere 11. Die Lösungen für (x, y) sind also (4, 10) und (10, 4).

Bei Rolfs Zusatzaufgabe (x, y ∈ ℤ) entfällt die Einschränkung; man muss sich auch die Zerlegungen 1 × 55, −1 × (−55) und −5 × (−11) ansehen, woraus sich zusätzliche Lösungen (0, 54), (54, 0), (−2, −56), (−56, −2), (−6, −12) und (−12, −6) ergeben.

---

Rolfs andere Zusatzaufgabe x + 2xy + y = 49 geht ebenso zu lösen; für die Zerlegung verwenden wir hier (2x + 1)(2y + 1) = 2x + 4xy + 2y + 1.

x + 2xy + y = 49
2x + 4xy + 2y = 98
2x + 4xy + 2y + 1 = (2x + 1)(2y + 1) = 99

99 lässt sich ganzzahlig nur in 3 × 33 und in 9 × 11 zerlegen (1 × 99 entfällt wieder wegen x, y ≥ 1), was zu den Lösungen (1, 16), (16, 1), (4, 5) und (5, 4) führt.

---

Bei der Zusatzaufgabe zur Zusatzaufgabe x + 3xy + y = 16 ist nun unschwer zu erraten, dass wir (3x + 1)(3y + 1) = 3x + 9xy + 3y + 1 verwenden.

x + 3xy + y = 16
3x + 9xy + 3y = 48
3x + 9xy + 3y + 1 = (3x + 1)(3y + 1) = 49

49 zerlegt in 7 × 7 ergibt als einzige Lösung (2, 2).

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[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von x + xy + y = 54.

Ich hatte die Aufgabe zunächst gelöst, ohne mir das Video anzuschauen. Dazu später mehr.

Später ist jetzt.

Wir betrachen die Gleichung modulo 4:

x	y	x + xy + y
0	0	0
0	1	1
0	2	2 ☚
0	3	3
1	0	1
1	1	3
1	2	1
1	3	3
2	0	2 ☚
2	1	1
2	2	0
2	3	3
3	0	3
3	1	3
3	2	3
3	3	3

54 ≡ 2 mod 4; es sind also nur die Zeilen (x, y) ≡ (0, 2) und (x, y) ≡ (2, 0) relevant. Wir betrachten den ersten Fall; der andere ergibt sich aus Vertauschung von x und y.

Mit
x = 4a,        a ∈ ℕ⁺
y = 4b + 2,    b ∈ ℕ

erhalten wir
x + xy + y = 4a + 16ab + 8a + 4b + 2 = 54
12a + 16ab + 4b = 52
   3a + 4ab + b = 13

Für b = 0 ergibt sich 3a = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt.
Für b = 1 ergibt sich 7a + 1 = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt.
Für b = 2 ergibt sich 11a + 2 = 13, also a = 1.
Für b ≥ 3 ist der Koeffizient von a schon ≥15. Wegen a ≥ 1 kann die Summe nicht 13 werden.

Daraus ergibt sich die Lösung (x, y) = (4 × 1, 4 × 2 + 2) = (4, 10) und durch Vertauschung von x und y die Lösung (10, 4).

---

Bei Rolfs anderer Zusatzaufgabe x + 2xy + y = 49 hilft die Betrachtung modulo 4 nicht weiter, aber modulo 5:

x	y	x + 2xy + y
0	0	0
0	1	1
0	2	2
0	3	3
0	4	4 ☚
1	0	1
1	1	4 ☚
1	2	2
1	3	0
1	4	3
2	0	2
2	1	2
2	2	2
2	3	2
2	4	2
3	0	3
3	1	0
3	2	2
3	3	4 ☚
3	4	1
4	0	4 ☚
4	1	3
4	2	2
4	3	1
4	4	0

49 ≡ 4 mod 5; es sind also nur die Zeilen (x, y) ≡ (0, 4), (x, y) ≡ (1, 1), (x, y) ≡ (3, 3) und (x, y) ≡ (4, 0) relevant.

1. Mit
x = 5a,        a ∈ ℕ⁺
y = 5b + 4,    b ∈ ℕ

erhalten wir
45a + 50ab + 5b + 4 = 49
9a + 10b + b = 9

Einzige Lösung a = 1, b = 0 ergibt (x, y) = (5, 4).

Vertauschung von x und y ergibt die Lösung (4, 5).

2. Mit
x = 5a + 1,    a ∈ ℕ
y = 5b + 1,    b ∈ ℕ

erhalten wir
15a + 50ab + 15b + 4 = 49
3a + 10ab + 3b = 9

a = 3, b = 0 ergibt (x, y) = (16, 1).

Vertauschung von a und b ergibt die Vertauschung von x und y (1, 16).

3. Mit
x = 5a + 3,    a ∈ ℕ
y = 5b + 3,    b ∈ ℕ

erhalten wir
35a + 50ab + 35b + 24 = 49
7a + 10ab + 7b = 5

was zu keinen ganzzahligen Lösungen führt.

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[ottogal]

Gute Idee, mit Restklassen zu rechnen.

Für x + 2xy +y = 49 funktioniert es aber auch mit mod 4:

Weil 49 ≡ 1 mod 4 ist, findet man die Paare (0|1), (1|0), (2|3) und (3|2).

Für den Fall (0|1) führt der Ansatz
x = 4a
y = 4b + 1
auf die Gleichung
3a + 8ab + b = 12

Deren Lösung a = 1, b = 1 ergibt x = 4, y = 5.
Für a = 4, b = 0 bekommt man x = 16, y = 1.

Für den Fall (2|3) ergeben sich keine ganzzahligen Lösungen.

(1|0) und (3|2) sind durch die Symmetrie mit erledigt.

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Für x + 2xy +y = 49 funktioniert es aber auch mit mod 4:

Weil 49 ≡ 1 mod 4 ist, findet man die Paare (0|1), (1|0), (2|3) und (3|2).

Stimmt. Die Tabelle hatte ich auch aufgestellt. Keine Ahnung, warum ich da nicht weitergemacht hatte.

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[MudGuard]

Hi,

Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von x + xy + y = 54.

Wir betrachen die Gleichung modulo 4:

und wo kommt die magische 4 her?

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Gunnar Bittersmann]

@@MudGuard

Wir betrachen die Gleichung modulo 4:

und wo kommt die magische 4 her?

Nachdem modulo 2 und modulo 3 keine brauchbaren Erkenntnisse brachten, war die 4 dran.

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[MudGuard]

Hi,

und wo kommt die magische 4 her?

Nachdem modulo 2 und modulo 3 keine brauchbaren Erkenntnisse brachten, war die 4 dran.

okay, also durch ausprobieren.

Ich hatte das umgeformt zu

x + (x+1)y = 54
(x+1)y = 54-x
y = (54-x)/(x+1)

Und dann im Excel ne Tabelle erstellen lassen für x von 1 bis 53 (bzw. 0 bis 54, weil ich zuerst das "positiv" nicht ganz so streng gesehen hab) und dann geguckt, wo das ganzzahlige Werte ergab.

Hab's aber nicht abgeliefert, weil ich dachte, daß die Durchprobier-Lösung nicht wirklich akzeptiert wird.

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Gunnar Bittersmann]

@@MudGuard

Ich hatte das umgeformt zu

x + (x+1)y = 54
(x+1)y = 54-x
y = (54-x)/(x+1)

Sieht gar nicht so schlecht aus. Noch eine kleine Umformung weiter …

$$y=\dfrac{54-x}{x+1}=\dfrac{55-x-1}{x+1}=\dfrac{55}{x+1}-1$$

Hab's aber nicht abgeliefert, weil ich dachte, daß die Durchprobier-Lösung nicht wirklich akzeptiert wird.

… und man man muss nicht probieren, sondern sieht, dass 55 durch x + 1 teilbar sein muss.

x + 1 muss also 1, 5, 11 oder 55 sein, d.h. x muss 0 (entfällt), 4, 10 oder 54 sein, woraus sich y zu 10, 4 bzw. 0 (entfällt auch) ergibt.

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