nicht angemeldet
Gunnar Bittersmann@@Gunnar Bittersmann
Gesucht sind die positiven ganzzahligen Lösungen von x + xy + y = 54.
Ich hatte die Aufgabe zunächst gelöst, ohne mir das Video anzuschauen. Dazu später mehr.
Später ist jetzt.
Wir betrachen die Gleichung modulo 4:
| x | y | x + xy + y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 2 | 2 ☚ |
| 0 | 3 | 3 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 3 |
| 1 | 2 | 1 |
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 0 | 2 ☚ |
| 2 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 0 |
| 2 | 3 | 3 |
| 3 | 0 | 3 |
| 3 | 1 | 3 |
| 3 | 2 | 3 |
| 3 | 3 | 3 |
54 ≡ 2 mod 4; es sind also nur die Zeilen (x, y) ≡ (0, 2) und (x, y) ≡ (2, 0) relevant. Wir betrachten den ersten Fall; der andere ergibt sich aus Vertauschung von x und y.
Mit
x = 4a, a ∈ ℕ⁺
y = 4b + 2, b ∈ ℕ
erhalten wir
x + xy + y = 4a + 16ab + 8a + 4b + 2 = 54
12a + 16ab + 4b = 52
3a + 4ab + b = 13
Für b = 0 ergibt sich 3a = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt.
Für b = 1 ergibt sich 7a + 1 = 13, was zu keiner ganzzahligen Lösung führt.
Für b = 2 ergibt sich 11a + 2 = 13, also a = 1.
Für b ≥ 3 ist der Koeffizient von a schon ≥15. Wegen a ≥ 1 kann die Summe nicht 13 werden.
Daraus ergibt sich die Lösung (x, y) = (4 × 1, 4 × 2 + 2) = (4, 10) und durch Vertauschung von x und y die Lösung (10, 4).
Bei Rolfs anderer Zusatzaufgabe x + 2xy + y = 49 hilft die Betrachtung modulo 4 nicht weiter, aber modulo 5:
| x | y | x + 2xy + y |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 2 | 2 |
| 0 | 3 | 3 |
| 0 | 4 | 4 ☚ |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 4 ☚ |
| 1 | 2 | 2 |
| 1 | 3 | 0 |
| 1 | 4 | 3 |
| 2 | 0 | 2 |
| 2 | 1 | 2 |
| 2 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 2 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 0 | 3 |
| 3 | 1 | 0 |
| 3 | 2 | 2 |
| 3 | 3 | 4 ☚ |
| 3 | 4 | 1 |
| 4 | 0 | 4 ☚ |
| 4 | 1 | 3 |
| 4 | 2 | 2 |
| 4 | 3 | 1 |
| 4 | 4 | 0 |
49 ≡ 4 mod 5; es sind also nur die Zeilen (x, y) ≡ (0, 4), (x, y) ≡ (1, 1), (x, y) ≡ (3, 3) und (x, y) ≡ (4, 0) relevant.
1. Mit
x = 5a, a ∈ ℕ⁺
y = 5b + 4, b ∈ ℕ
erhalten wir
45a + 50ab + 5b + 4 = 49
9a + 10b + b = 9
Einzige Lösung a = 1, b = 0 ergibt (x, y) = (5, 4).
Vertauschung von x und y ergibt die Lösung (4, 5).
2. Mit
x = 5a + 1, a ∈ ℕ
y = 5b + 1, b ∈ ℕ
erhalten wir
15a + 50ab + 15b + 4 = 49
3a + 10ab + 3b = 9
a = 3, b = 0 ergibt (x, y) = (16, 1).
Vertauschung von a und b ergibt die Vertauschung von x und y (1, 16).
3. Mit
x = 5a + 3, a ∈ ℕ
y = 5b + 3, b ∈ ℕ
erhalten wir
35a + 50ab + 35b + 24 = 49
7a + 10ab + 7b = 5
was zu keinen ganzzahligen Lösungen führt.
🖖 Живіть довго і процвітайте
„Im Vergleich mit Elon Musk bei Twitter ist ein Elefant im Porzellanladen eine Ballerina.“
— @Grantscheam auf Twitter
Rolf B
MudGuard
Tabellenkalk