Martini-Mathematik - Auflösung (ohne Olive)

[Rolf B]

Hallo,

danke an Gunnar, Tabellenkalk, Ottogal und Encoder für's erfolgreiche Mitmachen 😀

Teil 1 war natürlich viel zu einfach.

Um nicht zu viel zu rechnen, eine kleine Vorüberlegung: Wenn ich von einem Kegel der Höhe $$h_1$$ und dem Grundradius $$r_1$$ die Spitze abschneide, und der Abschnitt die Höhe $$h_2$$ hat, wie groß ist dann der Radius der Bodenfläche dieser Spitze?

Das rote und blaue Dreieck sind ähnlich, daher ist $$\displaystyle \frac{r_1}{h_1}=\frac{r_2}{h_2}$$ bzw. $$\displaystyle r_2=\frac{r_1}{h_1} h_2$$. Oder anders gesagt: Der Radius der Grundfläche einer abgeschnittenen Spitze ist proportional zur Höhe dieser Spitze.

Für das Kegelvolumen gilt bekanntlich $$\displaystyle V_K = \frac{\pi}{3}hr^2$$. Der Radius ist proportional zur Höhe, also $$r = K\cdot h$$ mit irgendeinem irrelevanten K. Dieses K bestimmt sich aus dem Verhältnis von Radius und Höhe, oder dem Öffnungswinkel des Kegels. Es ist also $$V_K = \frac{\pi}{3}K^2\cdot h^3$$ oder: das Kegelvolumen ist bei gegebenem Öffnungswinkel proportional zur dritten Potenz der Kegelhöhe.

Was dann heißt: Ist das Glas zu 3/4 der Höhe gefüllt, dann ist es zu $$\bigl(\frac{3}{4}\bigr)^3 = \frac{27}{64} \approx 42{,}1 \%$$ voll. Und ich kann zwei davon zusammenkippen, ohne dass was überläuft. Tatsächlich muss ich das Glas zu $$\sqrt[3]{\frac{1}{2}} \approx 79{,}4 \%$$ füllen, um es halb voll zu bekommen. Was der Zeichnung entspricht, die ich gemacht hatte 😉

Wenn ich das Glas so mit Wasser fülle, dass nach dem Zukleben und Aufdenkopfstellen das obere Drittel leer ist, dann fehlt $$\bigl(\frac{1}{3}\bigr)^3 = \frac{1}{27}$$ des Volumens. Das Wasser in den unteren zwei Dritteln nimmt $$\frac{26}{27}$$ des Volumens ein. Wenn ich das Glas wieder richtig herum hinstelle, ist also die Frage, wieviel Füllhöhe zu $$\frac{26}{27}$$ des Volumens führt. Das wäre die dritte Wurzel von $$\frac{26}{27}$$ oder 98.75%.

In dem Video von Brady Haran (Numberphile), aus dem ich diese Aufgaben habe, führte das dazu, dass die Adhäsionskräfte das Wasser gar nicht komplett vom Deckel wegließen.

Ich hatte 95% geschätzt und gedacht, das wäre schon reichlich. Aber bei 95% Füllhöhe ist das Glas nur zu 85,7% gefüllt, d.h. 13,4% des Volumens sind Luft. Steht das Glas auf dem Kopf, hat dieser Luftraum eine Höhe von etwa 52% der Glashöhe - der Wasserpegel ist dann gerade mal bei der HÄLFTE.

Rolf