Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Wieder was ohne Skizze:

Gesucht sind die Lösungen von x⁴ = (x − 1)⁴ in ℂ.

Kwakoni Yiquan

PS: Lösungen wie immer per DM an mich. Ich löse dann in ein paar Tagen auf. Ähm, da war ja noch was …

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

bei komplexen Zahlen bin ich raus.

Rolf

[JürgenB]

Hallo Rolf,

bei komplexen Zahlen bin ich raus.

dann kannst du dabei bleiben.

Gruß
Jürgen

[Rolf B]

Hallo Jürgen,

Wolfram Alpha sagt: nö.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@JürgenB

bei komplexen Zahlen bin ich raus.

dann kannst du dabei bleiben.

Aber nicht bis zum Schluss. Um zehn muss das Kind nach Hause. 😜

Kwakoni Yiquan

[JürgenB]

Hallo

Um zehn muss das Kind nach Hause. 😜

aber es ist schwer, bis zum Schluss bleiben zu dürfen. Ich habe jetzt schon vier A4 Seiten mit Formeln gefüllt und mich u.A. in Polynomdivision geübt. Aber mein Egebnis ist "krumm" und besteht die Prüfung nicht, aber ich finde den Fehler einfach nicht. 😟

Und dann habe ich auch noch die Vermutung, das die Lösung ein Dreizeiler ist.

Gruß
Jürgen

[Rolf B]

Hallo Jürgen,

nach dem Hinweis mit der Symmetrie ist mir die reelle Nullstelle klar geworden. Für den Rest wüsste ich jetzt, wie ich vorgehen muss. Polynomdivision gehört dazu, ja. Aber ich habe Urlaub 😜

Rolf

[JürgenB]

Hallo Rolf,

... Aber ich habe Urlaub 😜

du hast's gut, mein Urlaub wurde gestrichen. 😀

Gruß
Jürgen

[Rolf B]

Hallo JürgenB,

…sprach der Rentner, der keine Zeit mehr hat 😏

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

…sprach der Rentner, der keine Zeit mehr hat 😏

Wie geht das denn mit Urlaub als Rentner? Frage für einen Freund...

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

weiß nicht, Jürgen ist der Ruheständler. Ich brauche noch 5-8 Jahre bis dahin.

Nein, nicht minus 3 Jahre!

Rolf

[JürgenB]

Hallo,

Wie geht das denn mit Urlaub als Rentner? Frage für einen Freund...

tja, du hast einfach keinen Urlaub mehr, und auch kein Wochenende. Alle Tage sind (arbeitstechnisch) gleich. 😀

Oder, um es mal etwas ernster zu betrachten: ich bin der Herr meiner Zeit (bzw. meine Frau, meine Kinder und meine Enkel, und etwas auch Selfhtml).

Gruß
Jürgen

[Rolf B]

Hallo Jürgen,

Ich habe meinen Urlaub kurz unterbrochen und polynomdividiert. Wenn man kein - verschlunzt – wozu es reichlich Gelegenheit gibt –, kommt eine ordentliche Lösung raus.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@JürgenB

aber es ist schwer, bis zum Schluss bleiben zu dürfen. Ich habe jetzt schon vier A4 Seiten mit Formeln gefüllt und mich u.A. in Polynomdivision geübt. Aber mein Egebnis ist "krumm" und besteht die Prüfung nicht, aber ich finde den Fehler einfach nicht. 😟

Hm.

Und dann habe ich auch noch die Vermutung, das die Lösung ein Dreizeiler ist.

Na wenigstens die Vermutung stimmte. 😜

Kwakoni Yiquan

[JürgenB]

Hallo Gunnar,

fast so weit war ich auch. Nur habe ich die Wurzel aus der negativen Zahl nicht akzeptiert und statt dessen die Nullstellen von Real- und Imaginärteil getrennt gesucht. Dabei habe ich mich dann verrechnet und den Fehler nicht gefunden. ☹️

Gruß
Jürgen

[Der Martin]

Hallo Rolf,

bei komplexen Zahlen bin ich raus.

mein Spezialgebiet ist das auch nicht, und die Aufgabenstellung finde ich auch nicht spannend genug, dass ich jetzt altes, längst abgestorbenes Wissen wiederbeleben will. So groß ist meine Begeisterung für die Mathematik nicht.

Aber es muss auch genau eine reelle Lösung geben. Begründung:

Der Graph von y=x⁴ ist eine Parabel mit dem Scheitel im Koordinatenursprung. Der von y=(x-1)⁴ ist die gleiche Parabel um 1 nach rechts verschoben. Allein aus der Anschauung erkennt man, dass es genau einen Schnittpunkt gibt.

Ich hoffe, Gunnar betrachtet das nicht als Spoiler, denn er hat ja nach komplexen Lösungen gefragt (reelle wären eine Untermenge davon).

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Der Graph von y=x⁴ ist eine Parabel mit dem Scheitel im Koordinatenursprung. Der von y=(x-1)⁴ ist die gleiche Parabel um 1 nach rechts verschoben. Allein aus der Anschauung erkennt man, dass es genau einen Schnittpunkt gibt.

Allein aus der Anschauung erkennt man auch, bei welchem x der Schnittpunkt liegt.

Ich hoffe, Gunnar betrachtet das nicht als Spoiler, denn er hat ja nach komplexen Lösungen gefragt (reelle wären eine Untermenge davon).

Also eine hätten wir schon mal. Gibt’s noch mehr?

Kwakoni Yiquan

[Der Martin]

Moin Gunnar,

Gesucht sind die Lösungen von x⁴ = (x − 1)⁴ in ℂ.

wieso sind die gesucht? Haben sie was angestellt? Oder hat sie jemand verbummelt?

*scnr*
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Der Martin

Gesucht sind die Lösungen von x⁴ = (x − 1)⁴ in ℂ.

wieso sind die gesucht? Haben sie was angestellt? Oder hat sie jemand verbummelt?

Keine Ahnung. Es ist aber so, „dass die echte Welt nicht immer der Logik folgt. Denn manchmal ist unten oben und manchmal ist oben unten.“

Und so ist das mit der Suche: „wenn man sich verloren fühlt, wird man gefunden.“ (Michael Burnham in Star Trek: Discovery S1:E3 ☞ Original)

Kwakoni Yiquan

[Der Martin]

Hallo,

Es ist aber so, „dass die echte Welt nicht immer der Logik folgt. ...“

so wie die rhetorische Antwort auf die Frage an der Supermarktkasse:
"Zahlen Sie bar oder mit Karte?" - "Ja."

Einen schönen Tag noch
 Martin

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Gesucht sind die Lösungen von x⁴ = (x − 1)⁴ in ℂ.

Auf beiden Seiten die vierte Wurzel gezogen gibt – aufgepasst! – nicht x = x − 1, sondern |x| = |x − 1|.

Wenn da beide Seiten dasselbe Vorzeichen haben, sind wir wieder bei x = x − 1, was keine Lösung hat. Also haben beide Seiten unterschiedliche Vorzeichen und es ist −x = x − 1, also x = ½.

In ℝ kann man das wohl so machen (kann man?); in ℂ gehen da aber Lösungen verloren.

Wir formen äquivalent um: Die rechte Seite nach der binomischen Formel aufgelöst (Pascalsches Dreieck) führt zu 0 = −4x³ + 6x² − 4x + 1. Gut, dass wir schon eine Lösung gefunden haben!

Polynomdivison: (−4x³ + 6x² − 4x + 1) : (x − ½) = −4x² + 4x − 2. Darauf (Normalform: 0 = x² − x + ½) die Lösungsformel angewandt: x₂₃ = ½ ± √−¼ = ½ ± ½i.

Ottogal und Rolf hatten’s auch so.

Kwakoni Yiquan

[Rolf B]

Hallo Gunnar Bittersmann,

In ℝ kann man das wohl so machen (kann man?)

Ja, denke schon dass man das kann. Für positive Zahlen ist x=y und x²=y² äquivalent weil f(t)=t² streng monoton ist.

Zumindest taugt das, um eine valide Teilmenge der Lösungen zu finden. Der Rest dividiert sich dann herbei 😉

Rolf

[ottogal]

Ähm, da war ja noch was …

Und? 😁

[JimKnopf]

Hallo Gunnar,

ein neues Mathe-Rätsel ist ja eine schöne Sache, aber wie wäre es denn mal mit der Auflösung zu Mathematik zum Wochenanfang vom 06.05.2024? Meintest Du das mit „Ähm, da war ja noch was …“ oder habe ich da etwas übersehen?

Gruß... JimKnopf

[Gunnar Bittersmann]

@@JimKnopf

ein neues Mathe-Rätsel ist ja eine schöne Sache, aber wie wäre es denn mal mit der Auflösung zu Mathematik zum Wochenanfang vom 06.05.2024? Meintest Du das mit „Ähm, da war ja noch was …“

Ja, genau das.

Kwakoni Yiquan