Moin, dann schreibe ich auch mal meine Lösung nieder. Zunächst informell: Um $$k^3$$ zu berechnen, summiere man k aufeinander folgende ungerade Zahlen $$u_i$$. Für k=1 beginnt man bei 1, für k > 1 beginnt man bei der ersten ungeraden Zahl, die für (k-1) nicht mehr verwendet wurde. D.h. für ein bestimmtes k überspringe ich 1+2+3+...+(k-1) ungerade Zahlen, das sind $$\displaystyle P=\sum_{t_1}^{k-1}t$$ Zahlen. Ich beginne also mit der (P+1)-ten ungeraden Zahl und summiere bis zur (P+k)-ten ungeraden Zahl, das sind k ungerade Zahlen. Um P zu berechnen, kann ich die Gaußsche Formel verwenden. Die formale Behauptung ist also: $$\displaystyle k^3=\sum_{i=P+1}^{P+k}(2i-1)$$ mit $$\displaystyle P=\frac{k-1}{2}k$$ |k|P|Summanden|Summe |-|-:|-------|----- |1|0|$$u_1=1$$ bis $$u_1=1$$|$$1^3=1=1$$| |2|1|$$u_2=3$$ bis $$u_3=5$$|$$2^3=8=3+5$$| |3|3|$$u_4=7$$ bis $$u_6=11$$|$$3^3=27=7+9+11$$| |4|6|$$u_7=13$$ bis $$u_{10}=19$$|$$4^3=64=13+15+17+19$$| |5|10|$$u_{11}=21$$ bis $$u_{15}=29$$|$$5^3=125=21+23+...+29$$| |6|15|$$u_{16}=31$$ bis $$u_{21}=41$$|$$6^3=216=31+33+...+41$$| Das will nun formal nachgewiesen werden. Dazu schreibe ich die Behauptung etwas um: statt von P+1 bis P+k summiere ich von 1 bis P+k und ziehe davon die Summe von 1 bis P wieder ab. Das ist eine Standardoperation für den Summenoperator und kommt auf das selbe hinaus. $$\displaystyle k^3=\sum_{i=P+1}^{P+k}(2i-1) = \sum_{i=1}^{P+k}(2i-1) - \sum_{i=1}^{P}(2i-1)$$ Dass $$\displaystyle K^2=\sum_{i=1}^{K}(2i-1)$$ ist, wissen wir aus der Schule. Anwenden: $$=(P+k)^2-P^2$$ (binomische Formel anwenden) $$= 2\cdot P\cdot k + k^2$$ (Definition für P einsetzen) $$=2\cdot\frac{k-1}{2}k\cdot k + k^2$$ $$=(k-1)k^2+k^2$$ $$=k^3-k^2+k^2$$ $$=k^3$$ Also: Für ein gegebenes k>0 ergibt die Summe der k ungeraden Zahlen ab der (P+1)-ten ungeraden Zahl, mit $$\displaystyle P=\sum_{t=1}^{k}t = \frac{k-1}{2}k$$, den Wert $$k^3$$. Nach k=0 war nicht gefragt, aber da die Summe von 0 Zahlen den Wert 0 ergibt, gilt die Aussage auch für k=0. _Rolf_ -- sumpsi - posui - obstruxi

Moin, dann schreibe ich auch mal meine Lösung nieder. Zunächst informell: Um $$k^3$$ zu berechnen, summiere man k aufeinander folgende ungerade Zahlen $$u_i$$. Für k=1 beginnt man bei 1, für k > 1 beginnt man bei der ersten ungeraden Zahl, die für (k-1) nicht mehr verwendet wurde. D.h. für ein bestimmtes k überspringe ich 1+2+3+...+(k-1) ungerade Zahlen, das sind $$\displaystyle P=\sum_{t_1}^{k-1}t$$ Zahlen. Ich beginne also mit der (P+1)-ten ungeraden Zahl und summiere bis zur (P+k)-ten ungeraden Zahl, das sind k ungerade Zahlen. Um P zu berechnen, kann ich die Gaußsche Formel verwenden. Die formale Behauptung ist also: $$\displaystyle k^3=\sum_{i=P+1}^{P+k}(2i-1)$$ mit $$\displaystyle P=\frac{k-1}{2}k$$ |k|P|Summanden|Summe |-|-:|-------|----- |1|0|$$u_1=1$$ bis $$u_1=1$$|$$1^3=1=1$$| |2|1|$$u_2=3$$ bis $$u_3=5$$|$$2^3=8=3+5$$| |3|3|$$u_4=7$$ bis $$u_6=11$$|$$3^3=27=7+9+11$$| |4|6|$$u_7=13$$ bis $$u_{10}=19$$|$$4^3=64=13+15+17+19$$| |5|10|$$u_{11}=21$$ bis $$u_{15}=29$$|$$5^3=125=21+23+...+29$$| |6|15|$$u_{16}=31$$ bis $$u_{21}=41$$|$$6^3=216=31+33+...+41$$| Das will nun formal nachgewiesen werden. Dazu schreibe ich die Behauptung etwas um: statt von P+1 bis P+k summiere ich von 1 bis P+k und ziehe davon die Summe von 1-P wieder ab. Das ist eine Standardoperation für den Summenoperator und kommt auf das selbe hinaus. $$\displaystyle k^3=\sum_{i=P+1}^{P+k}(2i-1) = \sum_{i=1}^{P+k}(2i-1) - \sum_{i=1}^{P}(2i-1)$$ Dass $$\displaystyle K^2=\sum_{i=1}^{K}(2i-1)$$ ist, wissen wir aus der Schule. Anwenden: $$=(P+k)^2-P^2$$ (binomische Formel anwenden) $$= 2\cdot P\cdot k + k^2$$ (Definition für P einsetzen) $$=2\cdot\frac{k-1}{2}k\cdot k + k^2$$ $$=(k-1)k^2+k^2$$ $$=k^3-k^2+k^2$$ $$=k^3$$ Also: Für ein gegebenes k>0 ergibt die Summe der k ungeraden Zahlen ab der (P+1)-ten ungeraden Zahl, mit $$\displaystyle P=\sum_{t=1}^{k}t = \frac{k-1}{2}k$$, den Wert $$k^3$$. Nach k=0 war nicht gefragt, aber da die Summe von 0 Zahlen den Wert 0 ergibt, gilt die Aussage auch für k=0. _Rolf_ -- sumpsi - posui - obstruxi