Eine Lösung

[Rolf B]

Moin,

dann schreibe ich auch mal meine Lösung nieder.

Zunächst informell:

Um $k^3$ zu berechnen, summiere man k aufeinander folgende ungerade Zahlen $u_i$. Für k=1 beginnt man bei 1, für k > 1 beginnt man bei der ersten ungeraden Zahl, die für (k-1) nicht mehr verwendet wurde.

D.h. für ein bestimmtes k überspringe ich 1+2+3+...+(k-1) ungerade Zahlen, das sind $\displaystyle P=\sum_{t_1}^{k-1}t$ Zahlen. Ich beginne also mit der (P+1)-ten ungeraden Zahl und summiere bis zur (P+k)-ten ungeraden Zahl, das sind k ungerade Zahlen. Um P zu berechnen, kann ich die Gaußsche Formel verwenden.

Die formale Behauptung ist also: $\displaystyle k^3=\sum_{i=P+1}^{P+k}(2i-1)$ mit $\displaystyle P=\frac{k-1}{2}k$

k	P	Summanden	Summe
1	0	$u_1=1$ bis $u_1=1$	$1^3=1=1$
2	1	$u_2=3$ bis $u_3=5$	$2^3=8=3+5$
3	3	$u_4=7$ bis $u_6=11$	$3^3=27=7+9+11$
4	6	$u_7=13$ bis $u_{10}=19$	$4^3=64=13+15+17+19$
5	10	$u_{11}=21$ bis $u_{15}=29$	$5^3=125=21+23+...+29$
6	15	$u_{16}=31$ bis $u_{21}=41$	$6^3=216=31+33+...+41$

Das will nun formal nachgewiesen werden. Dazu schreibe ich die Behauptung etwas um: statt von P+1 bis P+k summiere ich von 1 bis P+k und ziehe davon die Summe von 1 bis P wieder ab. Das ist eine Standardoperation für den Summenoperator und kommt auf das selbe hinaus.

$\displaystyle k^3=\sum_{i=P+1}^{P+k}(2i-1) = \sum_{i=1}^{P+k}(2i-1) - \sum_{i=1}^{P}(2i-1)$

Dass $\displaystyle K^2=\sum_{i=1}^{K}(2i-1)$ ist, wissen wir aus der Schule. Anwenden:

$=(P+k)^2-P^2$
(binomische Formel anwenden)
$= 2\cdot P\cdot k + k^2$
(Definition für P einsetzen)
$=2\cdot\frac{k-1}{2}k\cdot k + k^2$
$=(k-1)k^2+k^2$
$=k^3-k^2+k^2$
$=k^3$

Also: Für ein gegebenes k>0 ergibt die Summe der k ungeraden Zahlen ab der (P+1)-ten ungeraden Zahl, mit $\displaystyle P=\sum_{t=1}^{k}t = \frac{k-1}{2}k$, den Wert $k^3$. Nach k=0 war nicht gefragt, aber da die Summe von 0 Zahlen den Wert 0 ergibt, gilt die Aussage auch für k=0.

Rolf