Eine Lösung

[JimKnopf]

Moin moin,

Gunnar Bittersmann hat mir vorgeschlagen, meine Lösung hier selbst zu posten - dies ist also nicht die offizielle Lösung. Vermutlich kann man den in der Aufgabenstellung geforderten mathematischen Beweis auf verschiedenen Arten führen. Ich stelle folgenden Weg zur Diskussion:

Zur Erinnerung noch einmal die Aufgabenstellung:

1³ = 1
2³ = 3 + 5
3³ = 7 + 9 + 11

1. Wie lautet die nächste Zeile?
2. Und die nächste? Und die nächste? … Also alle? n³ = ?
3. Beweise 2.

Lösung: Ich betrachte die Summen
$s_{n} ≝ {\sum\limits_{i = 1}^{n}\left\lbrack {{n(n - 1)} + 2i - 1} \right\rbrack}\mspace{30mu}$ für $\mspace{5mu} n = 1, 2, 3,...$

Durch Einsetzen kann man leicht zeigen, dass diese Summen für $n = 1 \text{ bis } 3$
${n = 1:\mspace{20mu} s_{1} = \left\lbrack {{1 \cdot 0} + 2 - 1} \right\rbrack = 1}$
${n = 2:\mspace{20mu} s_{2} = \left\lbrack {{2 \cdot 1} + 2 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{2 \cdot 1} + 4 - 1} \right\rbrack = 3 + 5}$
${n = 3:\mspace{20mu} s_{3} = \left\lbrack {{3 \cdot 2} + 2 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{3 \cdot 2} + 4 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{3 \cdot 2} + 6 - 1} \right\rbrack = 7 + 9 + 11}$
gerade die rechten Seiten der Aufgabenstellung ergeben.

Aber sind das auch für $n$ ≥ 4 gerade die Kubikzahlen? In der Definitionsgleichung für $s_{n}$ darf man die Summation für die drei Summanden in der eckigen Klammer auch separat durchführen:
$s_{n} = {\sum\limits_{i = 1}^{n}n}{({n - 1})} + {\sum\limits_{i = 1}^{n}2}i - {\sum\limits_{i = 1}^{n}1}$
Einen nicht vom Laufindex $i$ abhängigen (konstanten) Faktor darf man vor das Summenzeichen ziehen:
$s_{n} = n{{({n - 1})} \cdot {\sum\limits_{i = 1}^{n}1}} + {2 \cdot {\sum\limits_{i = 1}^{n}i}} - {\sum\limits_{i = 1}^{n}1}$
Mit der trivialen Beziehung
${\sum\limits_{i = 1}^{n}1} = n$
und der Gaußschen Summenformel für die arithmetische Reihe der ersten $n$ natürlichen Zahlen
${\sum\limits_{i = 1}^{n}i} = \frac{1}{2}{n{({n + 1})}}$
(siehe z.B. Wikipedia: Gaußsche Summenformel) erhält man schließlich
${s_{n} = n{{({n - 1})} \cdot n} + {2 \cdot \frac{1}{2}}{n{({n + 1})}} - n}$
${\mspace{22mu} = {n^{3} - n^{2}} + {n^{2} + n} - n}$
${\mspace{22mu} = n^{3}}$

Damit ist
$n^{3} = {\sum\limits_{i = 1}^{n}\left\lbrack {n{{({n - 1})} + 2}{i - 1}} \right\rbrack}\mspace{30mu}$ für alle ganzzahligen $\mspace{5mu} n \geq 1$
bewiesen und die Aufgabenteile 2 und 3 sind gelöst. Teil 2 lässt sich auch etwas umgangssprachlicher fassen:

Für ein ganzzahliges $n$ ≥ 1 lässt sich die Kubikzahl $n^{3}$ als eine Summe von $n$ aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen darstellen, wobei die Summanden zur Darstellung von $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, ...$ eine fortlaufende und lückenlose Folge, beginnend mit 1 für $1^{3}$, bilden.

Fehlt noch Aufgabenteil 1. Für $n$ = 4 liefert die Formel:
$4^{3} = \left\lbrack {{4 \cdot 3} + 2 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{4 \cdot 3} + 4 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{4 \cdot 3} + 6 - 1} \right\rbrack + \left\lbrack {{4 \cdot 3} + 8 - 1} \right\rbrack \\\ \mspace{11mu} = 13 + 15 + 17 + 19 = 64 \mspace{10mu} ✓$

Anmerkung: Ich finde diesen Zusammenhang zwischen Kubikzahlen und fortlaufenden ungeraden Zahlen bemerkenswert. Für Quadratzahlen gibt es etwas ganz Ähnliches:
${1^{2} = 1}$
${2^{2} = 1 + 3}$
${3^{2} = 1 + 3 + 5}$
${n^{2} = {\sum\limits_{i = 1}^{n}{(2i - 1)}}} \mspace{30mu}$ für $\mspace{5mu} n = 1, 2, 3,...$

Kennt jemand einen entsprechenden Zusammenhang zwischen vierten Potenzen $n^{4}$ und ungeraden Zahlen? Ich vermute, dass so etwas existieren könnte.

Gruß... JimKnopf