Mathematik zum Wochenanfang

[Gunnar Bittersmann]

Wo ich @ottogal letztens wieder im Buchstabenmuseum begegnet bin, fiel mir ein, eine Tradition mal wiederzubeleben.

Vielleicht noch ein bisschen früh für den Wochenanfang. Aber in einigen Regionen der Welt fängt die Woche immer noch am Sonntag an. (Wikipedia: Wochenbeginn)

In der BRD war das bis 1976 auch noch die Empfehlung? (Wikipedia: Mittelalterliche Wochentagszählung) Hattet ihr drüben damals wirklich Kalender mit Wochen von Sonntag bis Sonnabend? Ich kann mich an sowas aus der DDR nicht erinnern; ich kenne nur Wochen von Montag bis Sonntag.

Entgegen der mittelalterliche Wochentagszählung muss die Woche bei den Slawen schon seit Ewigkeiten am Montag bekonnen haben; die Wochentage wurden ab Montag durchgezählt: Dienstag ist russisch вторник (wtornik) von второй (wtoroj) – zweiter. Polnisch ähnlich: wtorek, obwohl zweiter drugi heißt, was im Russischen „anderer“ bedeutet.

Donnerstag ist polnisch czwartek von czwarty – vierter; Freitag ist piątek von piąty – fünfter. Letzter auch eingedeutscht „Piontek“ als Nachname zu finden.

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Lange Rede … Hier nun die Aufgabe: Berechne $$\sqrt{30 \cdot 31 \cdot 32 \cdot 33 +1}$$ – ohne Taschenrechner, versteht sich.

🖖 Live long and prosper

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Lange Rede … Hier nun die Aufgabe: Berechne $$\sqrt{30 \cdot 31 \cdot 32 \cdot 33 +1}$$ – ohne Taschenrechner, versteht sich.

Ich muss gestehen, ich hab losgerechnet und gerechnet und gerechnet und dann doch zwischendurch mal den Taschenrechner bemüht, um zu sehen, was denn rauskommen soll. Und dann von der Lösung ausgehend reverse engineering, bis ich auf dasselbe kam, was ich vom Startpunkt auch schon hatte. Das könnte ich euch hier als durchgängigen Lösungsweg präsentieren, wie man die Aufgabe ohne Taschenrechner lösen kann, aber ich erspar euch das.

Der wohl einfachste Weg ist in den Kommentaren zu dem Video, wo ich die Aufgabe herhabe:

Wir sortieren die Faktoren etwas um: 30 · 33 kann man im Kopf rechnen: 990.

31 · 32 = 31 · 2⁵ kann man auch im Kopf rechnen: 31 fünfmal verdoppeln: 62, 124, 248, 496, 992.

$$\begin{align} \sqrt{30 \cdot 33 \cdot 31 \cdot 32 + 1} &= \sqrt{990 \cdot 992 + 1}\\
&= \sqrt{(991 - 1) (991 + 1) + 1}\\
&= \sqrt{991^2 - 1 + 1}\\
&= 991 \end{align}$$

(Da sindse wieder, die unterschiedlich hohen Wurzelzeichen.)

@encoder schrieb mir: „… und wenn man sich ansieht was man bei dieser Rechnerei gemacht hat, kann man sich fragen ob es noch weitere solche Zahlen-Quartetts gibt, für die das entsprechend gilt 😉“

Gute Frage. Für n ∈ ℕ ist

$$\begin{align} \sqrt{n (n+1) (n+2) (n+3) + 1} &= \sqrt{n (n+3) \cdot (n+1) (n+2) + 1}\\
&= \sqrt{(n^2+3n) \cdot (n^2+3n+2) + 1}\\
&= \sqrt{\left((n^2+3n+1)-1\right) \cdot \left((n^2+3n+1)+1\right) + 1}\\
&= \sqrt{(n^2+3n+1)^2 - 1 + 1}\\
&= n^2+3n+1 \end{align}$$

Für n = 30 kann man n² + 3n + 1 auch im Kopf rechnen.

🖖 Live long and prosper

PS: Ich erinnerte mich: da war doch war mit der Align-Umgebung in LaTeX … Im Archiv gesucht und gefunden: „So, und nun weiß ich auch wieder, wie das mit dem align geht.“ Na toll, und sobald das Posting im Archiv ist und es kein Antworten mit Zitat und Bearbeiten mehr gibt, kommt man an den LaTeX-Quelltext nicht mehr ran.

Irgendwan werde ich mich wieder erinnern: da war doch war mit der Align-Umgebung in LaTeX …

Also fürs Archiv der LaTeX-Quelltext:

\begin{align}
\sqrt{30 \cdot 33 \cdot 31 \cdot 32 + 1} &= \sqrt{990 \cdot 992 + 1}\\\\\
&= \sqrt{(991 - 1) (991 + 1) + 1}\\\\\
&= \sqrt{991^2 - 1 + 1}\\\\\
&= 991
\end{align}

Multiple Backslash-Zeichen – ein sicheres Zeichen für einen kranken Geist. (frei nach Terry Pratchett)

🖖 Live long and prosper

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Die dritte binomische Formel hatte ich aus irgendeinem Grund als "nicht hilfreich" eingestuft und dann lange gebastelt, um mit der 1. oder 2. etwas zu finden. Dann war das WE rum und keine Zeit mehr.

Die Frage "what would my TI say" habe ich natürlich auch gestellt und entsetzt festgestellt, dass die Wurzel eine Primzahl ist.

Hätte ich direkt mal probiert, 30×33 und 31×32 zu rechnen, wäre mir die 3BF vielleicht in den Sinn gekommen...

Rolf

[ottogal]

Die 3. Binomische Formel kam mir auch gleich in den Sinn (um 30×32 bzw. 31×33 umzuformen). Dann bin ich aber nur zu einer Abschätzung gekommen und habe gefolgert, der gesuchte Wurzelwert müsse knapp unter 992 liegen.
Auf 991 zu schließen war dann aber nicht mehr korrekt - es hätte auch 989 sein können.
(Die Endziffer konnte ja nur 1 oder 9 sein, da der Radikand sicher die Einerstelle 1 hat.)

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Die dritte binomische Formel hatte ich aus irgendeinem Grund als "nicht hilfreich" eingestuft

Na, den Grund würde ich ja gerne wissen! 😆

Paare, deren einer Teil etwas kleiner und deren anderer etwas größer als die Mitte ist, schreien doch geradezu nach der dritten bi Formel, die oft zusammen mit der binomischen Formel genannt wird (aber keine ist).

AFAIR hatte ich aber wie @ottogal die 30 und die 32 sowie die 31 und die 33 zusammen. Was auch irgendwie zum Ziel führte, aber längst nicht so kurz und knackig.

🖖 Live long and prosper

[ottogal]

Hallo in die Runde,

das Thema Welches ist der erste Tag der Woche (und Welches ist die erste Woche im Kalenderjahr) hatten wir mal ausführlich in diesem Thread:
https://forum.selfhtml.org/self/2023/feb/27/php-datum-eines-montags/1806605#m1806605

Viele Grüße
ottogal