Mathematik zum Wochenend-Anfang
ottogal
Mathematik zum Wochenend-Anfang
ottogal
MudGuard
Gunnar BittersmannHallo in die Runde!
Gegeben sind zwei Quadrate beliebiger Größe, die eine Ecke O gemeinsam haben:
Verbindet man die Endpunkte der von O ausgehenden Quadratseiten wie abgebildet, so entstehen zwei Dreiecke CDO und FAO.
Zu beweisen ist: Diese beiden Dreiecke haben stets gleichen Flächeninhalt.
Anmerkung: In dieser Geogebra-Zeichnung sind die dicken Punkte verschiebbar.
Man kann beobachten, dass die Aussage selbst dann richtig bleibt, wenn sich die beiden Quadrate überschneiden.
Für die Lösung der Aufgabe reicht es aber, den abgebildeten Fall zu betrachten (keine Fallunterscheidungen).
Schönes Wochenende!
ottogal
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Geantwortet haben @Gunnar Bittersmann, @Rolf B und @MudGuard, die sich erinnert oder nachgeschlagen haben:
Bei gegebenen Seiten $$a$$ und $$b$$ und deren Zwischenwinkel $$\gamma$$ beträgt der Dreiecksflächeninhalt
$$A=\frac{1}{2}a \cdot b \cdot \sin \gamma$$
Bei beiden blauen Dreiecken haben die dem Winkel an der Ecke O anliegenden Seiten die Länge a der einen und die Länge b der anderen Quadratseite.
Gunnar schrieb:
Die von ihnen jeweils eingeschlossenen Winkel seien φ und ψ. Diese sind Supplementwinkel, da sie mit zwei rechten Winkeln den Vollwinkel bilden; d.h. ψ = π − φ.
(er nimmt gern das Bogenmaß...)
Dann braucht man nur noch die Erinnerung an die Beziehung
$$\sin(\pi-\phi)=\sin(\phi)$$,
d.h. auch der Faktor $$\quad \sin \gamma \quad$$ in der Flächenformel ist für beide Dreiecke gleich.
Die eigentliche Schwierigkeit ist hierbei das richtige Erinnern (gell, Gunnar?).
Daher mag ich auch lieber Lösungen ohne Trigonometrie – und es geht auch ganz elementar:
Eine Drehung mit Zentrum O um 90° gegen den Uhrzeigersinn bildet das blaue Dreieck OFA auf das grüne Dreieck OGC ab. Beide haben also gleichen Flächeninhalt.
Nun ist $$\angle FOG$$ ein rechter Winkel, also liegen D, O, und G auf einer Geraden. H sei der Fußpunkt des Lotes von C auf diese Gerade.
Wegen |OG| = |OF| = |OD| stimmen die Dreiecke OGC und DOC in der Grundseite überein und haben die Höhe |CH| gemeinsam. Sie haben also gleichen Flächeninhalt, daher auch die beiden blauen Dreiecke.
Euch einen guten Start in die Woche!
ottogal-
Hi,
Danke für die Aufgabe!
cu,
Andreas a/k/a MudGuard-
Hallo Mittüftler,
meine Aufgabe hatte ich eigentlich als Vorübung gedacht für die folgende Aufgabe von Catriona Agg:
Catriona ist immer sehr wortkarg. Sie meint ein beliebiges konvexes Viereck mit dem Flächeninhalt 10, auf dessen Seiten jeweils ein Quadrat nach außen aufgesetzt ist. Durch die Vebindung der benachbarten äußeren Quadratecken enstehen die schraffierten Dreiecke.
Und sie will wissen, wie groß die insgesamt schraffierte Fläche ist.
Viele Grüße
ottogal-
Dieser Beitrag wurde gelöscht: spoiler
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Hallo in die Runde,
das war nicht schwer. @Rolf B sagte es ganz lapidar:
muss ja 20 sein. Wenn ich eine Diagonale durch das Viereck ziehe, sind die zwei entstehenden Teildreiecke genauso groß wie die schraffierten Dreiecke, an deren Spitze sie angrenzen. In Summe also 10
Mit der anderen Diagonale bekomme ich die zwei anderen schraffierten Dreiecke.
Aber ob mir das ohne die Vorübung eingefallen wäre? Hm.
@Gunnar Bittersmann drückte die gleiche Überlegung mit etwas mehr Worten aus und schloss mit der Bemerkung
Ohne die Vorübung … – hm, weiß nicht, ob ich die Lösung so schnell gefunden hätte. Oder ob überhaupt.
Hier kann man das Ganze auch ohne Worte verstehen; dass man die andere Diagonale nehmen muss, um die beiden übrigen blauen Dreiecke zu erledigen, ist ja klar:
https://www.geogebra.org/geometry/ayvrqcmn
Wie ich wohl auf die "Vorübung" gekommen bin?
Ausgangspunkt war die Aufgabe von Catriona und die dazu gegebene Lösung
"Solution by Area of a Triangle".
Die fand ich ziemlich umständlich und wollte sehen, ob es nicht schöner geht.Ich begann eine Geogebra-Zeichnung aus zuerst nur zwei Quadraten mit einer gemeinsamen Ecke
Beim Bewegen der dicken Punkte kam die Vermutung auf, dass die blauen Dreiecke stets gleichen Flächeninhalt haben.
Und dann fiel mir ein, dass ich früher schon einmal eine Aufgabe mit zwei solchen Quadraten gestellt hatte. Im Archiv gesucht und gefunden:https://forum.selfhtml.org/self/2022/sep/28/mathematik-zur-wochenmitte/1802377#m1802377
Damals kommentierte @Rolf B zu recht:
Ohne Geogebra wäre die "Lösungsforschung" echt die Hölle…
Und schon bei der Lösung der damaligen Aufgabe hatte ich eine Drehung verwendet, um zwei Dreiecke als kongruent zu erweisen.
So lag die Idee der Vorübung mit ihrer Lösung auf der Hand.
Viele Grüße
ottogal
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