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Geantwortet haben @Gunnar Bittersmann, @Rolf B und @MudGuard, die sich erinnert oder nachgeschlagen haben:
Bei gegebenen Seiten $$a$$ und $$b$$ und deren Zwischenwinkel $$\gamma$$ beträgt der Dreiecksflächeninhalt
$$A=\frac{1}{2}a \cdot b \cdot \sin \gamma$$
Bei beiden blauen Dreiecken haben die dem Winkel an der Ecke O anliegenden Seiten die Länge a der einen und die Länge b der anderen Quadratseite.
Gunnar schrieb:
Die von ihnen jeweils eingeschlossenen Winkel seien φ und ψ. Diese sind Supplementwinkel, da sie mit zwei rechten Winkeln den Vollwinkel bilden; d.h. ψ = π − φ.
(er nimmt gern das Bogenmaß...)
Dann braucht man nur noch die Erinnerung an die Beziehung
$$\sin(\pi-\phi)=\sin(\phi)$$,
d.h. auch der Faktor $$\quad \sin \gamma \quad$$ in der Flächenformel ist für beide Dreiecke gleich.
Die eigentliche Schwierigkeit ist hierbei das richtige Erinnern (gell, Gunnar?).
Daher mag ich auch lieber Lösungen ohne Trigonometrie – und es geht auch ganz elementar:
Eine Drehung mit Zentrum O um 90° gegen den Uhrzeigersinn bildet das blaue Dreieck OFA auf das grüne Dreieck OGC ab. Beide haben also gleichen Flächeninhalt.
Nun ist $$\angle FOG$$ ein rechter Winkel, also liegen D, O, und G auf einer Geraden. H sei der Fußpunkt des Lotes von C auf diese Gerade.
Wegen |OG| = |OF| = |OD| stimmen die Dreiecke OGC und DOC in der Grundseite überein und haben die Höhe |CH| gemeinsam. Sie haben also gleichen Flächeninhalt, daher auch die beiden blauen Dreiecke.
Euch einen guten Start in die Woche!
ottogal
MudGuard
Gunnar Bittersmann