Mathematik zur Wochenmitte

[Gunnar Bittersmann]

Gibt es eine größte Zahl n ∈ ℕ, für die $$\sqrt{n!}$$ ganzzahlig ist?^[1] Wenn ja, welche ist es?

Die Antwort sollte natürlich begründet werden. Und nicht hier im Thread ausposaunt werden, sondern als DM (Post) an mich gesandt werden.

🖖 Live long and prosper

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1. n! ist die Fakultät ↩︎

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Gibt es eine größte Zahl n ∈ ℕ, für die $$\sqrt{n!}$$ ganzzahlig ist? Wenn ja, welche ist es?

√1! = 1 ist ganzzahlig. √2! = √2 und √3! = √6 sind es nicht.

Für n ≥ 4 sei m = ⎣½n⎦.^[1]

$$\qquad\sqrt{n!} = \sqrt{1·2·…·m·…·n}$$

Nach dem Satz von Bertrand-Tschebyschow^[2] liegt zwischen m und 2m mindestens eine Primzahl, d.h. es gibt es eine Primzahl p mit m < p < 2m ≤ n.

$$\qquad\sqrt{n!} = \sqrt{1·2·…·m·…·p·…·n}$$

Wenn die Wurzel ganzzahlig sein soll, müssen sämtliche Primfaktoren des Radikanden geradzahlig oft auftreten.^[3] Das heißt, es muss ein weiterer Primfaktor p auftreten. Die nächste Zahl, die diesen liefern kann, ist 2p.

Für gerade n gilt 2p > 2m = n. Für ungerade n ist 2p > 2m = n − 1. Es ist aber auch 2p ≠ n. Somit gilt auch hier 2p > n. Das heißt: der Faktor 2p kommt im Radikanden nicht vor. Somit kann die Wurzel nicht ganzzahlig sein.

Die größte Zahl n, für die √n! ganzzahlig ist, ist also 1.

Es trudelten erstaunlich viele Lösungen bei mir ein. Erstaunlich für mich dehalb, weil sich in der Vergangenheit hauptsächlich Geometrieaufgaben größerer Beliebtheit erfreuten.

Die Aufgabe hatte ich von Cliff Pickover.

🖖 Live long and prosper

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1. ⎣½n⎦ in JavaScript: Math.floor(n/2) ↩︎

2. Es soll mal nicht nur der geehrt werden, der die Vermutung aufgestellt hat, sondern auch der, der sie bewiesen hat. ↩︎

3. $$\sqrt{p_1^{\phantom{1}2k_1}·p_2^{\phantom{2}2k_2}·…·p_N^{\phantom{N}2k_N}}=p_1^{\phantom{1}k_1}·p_2^{\phantom{2}k_2}·…·p_N^{\phantom{N}k_N}$$ ↩︎

[ottogal]

Hi Gunnar,

Nach dem Satz von Bertrand-Tschebyschow ...

Dass ich an den nicht gedacht habe...!?

Es trudelten erstaunlich viele Lösungen bei mir ein.

Wie viele waren denn richtig? Gabs auch solche ohne diesen Satz?

Gruß
ottogal

P.S. Ich weiß, warum ich Geometrieaufgaben lieber habe...

[Rolf B]

Hallo ottogal,

Gabs auch solche ohne diesen Satz

Ich hatte ähnlich wie Gunnar argumentiert und erkannt, dass ich eine Garantie für die Existenz einer Primzahl zwischen p und 2p brauche. Dafür hatte ich erstmal keine Idee und gescherzt, dass das vielleicht als die B...-Vermutung in die Mathematik-Geschichte eingehen könnte. Das habe ich Gunnar geschickt und DANN mit der Recherche begonnen, die mir fix Bertrandt lieferte. Währenddessen antwortete Gunnar, dass ich dafür 180 Jahre zu spät sei.

Ich habe mir Tschebyschows Beweis nicht angeschaut und weiß deshalb nicht, ob ich da selbst drauf gekommen wäre.

Eine Argumentation ohne Bertrandt wäre aber sicherlich interessant.

Rolf