Mathematik zur Wochenmitte – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Gibt es eine größte Zahl n ∈ ℕ, für die $$\sqrt{n!}$$ ganzzahlig ist? Wenn ja, welche ist es?

√1! = 1 ist ganzzahlig. √2! = √2 und √3! = √6 sind es nicht.

Für n ≥ 4 sei m = ⎣½n⎦.^[1]

$$\qquad\sqrt{n!} = \sqrt{1·2·…·m·…·n}$$

Nach dem Satz von Bertrand-Tschebyschow^[2] liegt zwischen m und 2m mindestens eine Primzahl, d.h. es gibt es eine Primzahl p mit m < p < 2m ≤ n.

$$\qquad\sqrt{n!} = \sqrt{1·2·…·m·…·p·…·n}$$

Wenn die Wurzel ganzzahlig sein soll, müssen sämtliche Primfaktoren des Radikanden geradzahlig oft auftreten.^[3] Das heißt, es muss ein weiterer Primfaktor p auftreten. Die nächste Zahl, die diesen liefern kann, ist 2p.

Für gerade n gilt 2p > 2m = n. Für ungerade n ist 2p > 2m = n − 1. Es ist aber auch 2p ≠ n. Somit gilt auch hier 2p > n. Das heißt: der Faktor 2p kommt im Radikanden nicht vor. Somit kann die Wurzel nicht ganzzahlig sein.

Die größte Zahl n, für die √n! ganzzahlig ist, ist also 1.

Es trudelten erstaunlich viele Lösungen bei mir ein. Erstaunlich für mich dehalb, weil sich in der Vergangenheit hauptsächlich Geometrieaufgaben größerer Beliebtheit erfreuten.

Die Aufgabe hatte ich von Cliff Pickover.

🖖 Live long and prosper

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1. ⎣½n⎦ in JavaScript: Math.floor(n/2) ↩︎

2. Es soll mal nicht nur der geehrt werden, der die Vermutung aufgestellt hat, sondern auch der, der sie bewiesen hat. ↩︎

3. $$\sqrt{p_1^{\phantom{1}2k_1}·p_2^{\phantom{2}2k_2}·…·p_N^{\phantom{N}2k_N}}=p_1^{\phantom{1}k_1}·p_2^{\phantom{2}k_2}·…·p_N^{\phantom{N}k_N}$$ ↩︎