@@Gunnar Bittersmann Mit einer Schleife eine Näherungslösung zu berechnen, kann ja jeder (fast). Danach war nicht gefragt. Summanden durch *i* gekürzt: $$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{(i-1)!} $$ Indexverschiebung (in den Summanden *i* + 1 für *i*, dafür fangen wir bei 0 an): $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)^2}{i!} $$ Binomische Formel: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2+2i+1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Weglassen der Summanden, die 0 sind (für *i* = 0): $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Das gleiche Spiel: durch *i* gekürzt: $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{(i-1)!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ und Indexverschiebung: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Zerlegung vorn, Zusammenfassung hinten: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Weglassen des Summanden, der 0 ist (für *i* = 0): $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Und noch mal: durch *i* gekürzt: $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Indexverschiebung: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = 5 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Jetzt muss man sich nur noch dran erinnern, dass $$ \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \mathrm e $$ die [Eulersche Zahl](https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl) ist. $$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = 5 \mathrm e $$ Die Aufgabe (und die Lösung) hab ich aus diesem [Video](https://www.youtube.com/watch?v=wZYsd1YBF6w). 🖖 Live long and prosper {:@en} -- *In our chants of “ICE out now” Our city’s heart and soul persists Through broken glass and bloody tears On the streets of Minneapolis*{:@en} — Bruce Springsteen, [Streets of Minneapolis](https://www.youtube.com/watch?v=GDaPdpwA4Iw){:@en}

@@Gunnar Bittersmann Mit einer Schleife eine Näherungslösung zu berechnen, kann ja jeder (fast). Danach war nicht gefragt. Summanden durch *i* gekürzt: $$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{(i-1)!} $$ Indexverschiebung (in den Summanden *i* + 1 für *i*, dafür fangen wir bei 0 an): $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)^2}{i!} $$ Binomische Formel: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2+2i+1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Weglassen der Summanden, die 0 sind (für *i* = 0): $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Das gleiche Spiel: durch *i* gekürzt: $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{(i-1)!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ und Indexverschiebung: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Zerlegung vorn, Zusammenfassung hinten: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Weglassen des Summanden, der 0 ist (für i = 0): $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Und noch mal: durch *i* gekürzt: $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Indexverschiebung: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = 5 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Jetzt muss man sich nur noch dran erinnern, dass $$ \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \mathrm e $$ die [Eulersche Zahl](https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl) ist. $$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = 5 \mathrm e $$ Die Aufgabe (und die Lösung) hab ich aus diesem [Video](https://www.youtube.com/watch?v=wZYsd1YBF6w). 🖖 Live long and prosper {:@en} -- *In our chants of “ICE out now” Our city’s heart and soul persists Through broken glass and bloody tears On the streets of Minneapolis*{:@en} — Bruce Springsteen, [Streets of Minneapolis](https://www.youtube.com/watch?v=GDaPdpwA4Iw){:@en}

@@Gunnar Bittersmann Mit einer Schleife eine Näherungslösung zu berechnen, kann ja jeder (fast). Danach war nicht gefragt. Summanden durch *i* gekürzt: $$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{(i-1)!} $$ Indexverschiebung (in den Summanden *i* + 1 für *i*, dafür fangen wir bei 0 an): $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)^2}{i!} $$ Binomische Formel: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2+2i+1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Weglassen der Summanden, die 0 sind (für *i* = 0): $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Das gleiche Spiel: durch *i* gekürzt: $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{(i-1)!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ und Indexverschiebung: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Zerlegung vorn, Zusammenfassung hinten: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Weglassen des Summanden, der 0 ist (für i = 0): $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Und noch mal: durch *i* gekürzt: $$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Indexverschiebung: $$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = 5 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$ Jetzt muss man sich nur noch dran erinnern, dass $$ \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \mathrm e $$ die [Eulersche Zahl](https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl) ist. $$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = 5 \mathrm e $$ Die Aufgabe hab ich aus diesem [Video](https://www.youtube.com/watch?v=wZYsd1YBF6w). 🖖 Live long and prosper {:@en} -- *In our chants of “ICE out now” Our city’s heart and soul persists Through broken glass and bloody tears On the streets of Minneapolis*{:@en} — Bruce Springsteen, [Streets of Minneapolis](https://www.youtube.com/watch?v=GDaPdpwA4Iw){:@en}