Mathematik zum Wochenanfang – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Mit einer Schleife eine Näherungslösung zu berechnen, kann ja jeder (fast). Danach war nicht gefragt.

Summanden durch i gekürzt:

$$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{(i-1)!} $$

Indexverschiebung (in den Summanden i + 1 für i, dafür fangen wir bei 0 an):

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)^2}{i!} $$

Binomische Formel:

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2+2i+1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Weglassen der Summanden, die 0 sind (für i = 0):

$$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Das gleiche Spiel: durch i gekürzt:

$$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{(i-1)!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

und Indexverschiebung:

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Zerlegung vorn, Zusammenfassung hinten:

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Weglassen des Summanden, der 0 ist (für i = 0):

$$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Und noch mal: durch i gekürzt:

$$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Indexverschiebung:

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = 5 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Jetzt muss man sich nur noch dran erinnern, dass $$ \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \mathrm e $$ die Eulersche Zahl ist.

$$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = 5 \mathrm e $$

Die Aufgabe (und die Lösung) hab ich aus diesem Video.

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