Mathematik zum Wochenanfang

[Gunnar Bittersmann]

Ich bin gerade auf eine nette Aufgabe gestoßen. Und wo das Wochenende nun fast zuende ist: zum Wochenanfang.

Berechne $$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} $$

Lösungen wie immer nicht im Thread, sondern per DM (Post) an mich.

🖖 Live long and prosper

PS: Glücklicherweise hab ich schnell auf StackOverflow gefunden, wie man MathJAX dazu bringt, den Bruch groß zu rendern und die Grenzen unter und über das Summenzeichen zu setzen: \displaystyle davorschreiben – das Gegenstück zu \textstyle.

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Mit einer Schleife eine Näherungslösung zu berechnen, kann ja jeder (fast). Danach war nicht gefragt.

Summanden durch i gekürzt:

$$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{(i-1)!} $$

Indexverschiebung (in den Summanden i + 1 für i, dafür fangen wir bei 0 an):

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)^2}{i!} $$

Binomische Formel:

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2+2i+1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Weglassen der Summanden, die 0 sind (für i = 0):

$$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^2}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Das gleiche Spiel: durch i gekürzt:

$$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{(i-1)!} + 2 \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

und Indexverschiebung:

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{(i+1)}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Zerlegung vorn, Zusammenfassung hinten:

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 2 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Weglassen des Summanden, der 0 ist (für i = 0):

$$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Und noch mal: durch i gekürzt:

$$ = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{(i-1)!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Indexverschiebung:

$$ = \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} + 4 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = 5 \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} $$

Jetzt muss man sich nur noch dran erinnern, dass $$ \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \mathrm e $$ die Eulersche Zahl ist.

$$ \displaystyle\sum_{i=1}^\infty \frac{i^3}{i!} = 5 \mathrm e $$

Die Aufgabe (und die Lösung) hab ich aus diesem Video.

🖖 Live long and prosper

[encoder]

Wollte eben fragen ob du einen Tip hast 😀

Ich muss das noch Schritt für Schritt anschauen.

[MudGuard]

Hi,

Mit einer Schleife eine Näherungslösung zu berechnen, kann ja jeder (fast). Danach war nicht gefragt.

Summanden durch i gekürzt:

soweit bin ich noch gekommen.

Für den Rest hat's nicht mehr gereicht - nur für ne Abschätzung.

Jetzt muss man sich nur noch dran erinnern, dass $$ \displaystyle\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{i!} = \mathrm e $$ die Eulersche Zahl ist.

Das hätte ich dann wieder gewußt (damals vor ca. 4 Jahrzehnten: Facharbeit "Näherungsweise Berechnung der Eulerschen Zahl e")

cu,
Andreas a/k/a MudGuard

[Rolf B]

Hallo MudGuard,

Für den Rest hat's nicht mehr gereicht - nur für ne Abschätzung.

Ich wusste auch nicht, wohin die Reise führt. Aber nachdem ich probehalber mal aus $$\frac{i³}{i!}$$ das i gekürzt hatte und $$\frac{i²}{(i-1)!}$$ da stehen hatte, da fand ich den Nenner hässlich und habe einfach den Index um 1 gesenkt. Was zu $$\frac{(i+1)²}{i!}$$ führte und einer Reihe, die bei 0 statt bei 1 beginnt. Um einheitliche Indizies zu behalten, habe ich das erste Element, also $$\frac{(0+1)²}{0!}=1$$, aus der Summe herausgenommen.

Das führte dann zu Aha-Effekten und am Ende stand ich fünfmal mit der Reihe über $$\frac{1}{i!}$$ da. Und ich dachte mir, verdammt, die kennst du doch, aber ich musste in einer Tabelle über bekannte Reihen nachgucken, um wieder drauf zu kommen und hätte dann noch beinahe übersehen, dass die e-Reihe bei 0 beginnt und nicht bei 1. Was aber ganz nützlich ist, denn ansonsten wäre die Lösung hässlicherweise $$5+5e$$ gewesen.

Rolf