Hallo,

Gebrochene Zahlen sind – je nach Ansicht – die positiven bzw. die nichtnegativen rationalen Zahlen.

wieso willst du negative Zahlen ausschließen?
Ist -1/3 etwa keine gebrochene Zahl? Wenn nicht, was dann?

Ciao,
 Martin

Hallo,

Hier setzt Du "gebrochene Zahl" mit "Zahl mit Komma in der Darstellung" gleich.

Und genau das stimmt nicht. 3,14159265358979323846... oder 2,71828... oder ... enthalten in der (deutschen) Darstellung ein Komma, sind aber eben keine gebrochenen Zahlen.

doch, sind sie. Man sollte sich IMO nicht allzu streng an der mathematischen Definition festhalten, dass eine "gebrochene Zahl" durch einen Bruch darstellbar ist, sondern vielmehr daran denken, dass diese Zahlen zusätzlich zum ganzzahligen Anteil einen Bruchteil von 1 enthalten, egal ob dieser Bruchteil rational oder reell ist.

Übrigens wurde in meiner Schulzeit der Begriff der gebrochenen Zahlen auch schon so aufgefasst - als nicht ganzzahlig.

Abgesehen davon finde ich, daß es nicht wirklich sinnvoll ist, die Zahlen, die auf jeden Fall zu einer Rechenungenauigkeit führen, weil sie in egal welcher Speicherform niemals exakt angegeben werden können, von der Betrachtung der Rechenungenauigkeitsprobleme auszunehmen.

Eben drum.

So long,
 Martin

Aloha ;)

Zusätzlich zu Martins Anmerkungen...

Abgesehen davon finde ich, daß es nicht wirklich sinnvoll ist, die Zahlen, die auf jeden Fall zu einer Rechenungenauigkeit führen, weil sie in egal welcher Speicherform niemals exakt angegeben werden können, von der Betrachtung der Rechenungenauigkeitsprobleme auszunehmen.

Das ist aber genau das, um was es im darauffolgenden Abschnitt (also im Rest des Kapitels, nach den Einleitungssätzen) geht - ich zitiere die Einleitungssätze (Hervorhebung geändert):

Das Konzept nicht exakt darstellbarer Zahlen ist uns eigentlich schon aus der Schulmathematik wohlbekannt und kommt immer dann zum Tragen, wenn man über den Bereich der ganzen Zahlen hinausgeht. Man denke beispielsweise an irrationale Zahlen - es gibt keine Möglichkeit, √2 mit einer Dezimalzahl exakt darzustellen.

Und während das Beispiel der irrationalen Zahlen nicht nur das Dezimalsystem betrifft, in dem wir Menschen gewöhnlich rechnen und denken, sondern Zahlensysteme jeder Basis, so gibt es auch rationale Zahlen, die in manchen Zahlensystemen mit endlich vielen Ziffern exakt darstellbar sind und in anderen nicht - wir sagen dann in letzterem Fall, dass solche Zahlen eine periodische Darstellung besitzen.

Erst nach dieser Stelle, also schon nachdem ich ausdrücklich erwähnt habe, dass es auch die irrationalen (bzw. genauer die transzendenten) Zahlen gibt, die in keinem Zahlensystem darstellbar sind, benutze ich den Ausdruck "gebrochene Zahlen" - denn der gesamte Rest des Abschnitts dreht sich auch nur noch um Zahlen, die eben nicht irrational sind, und dass (bzw. wann) auch diese nicht exakt darstellbar sind.

Ich nehme also die irrationalen Zahlen an dieser Stelle nicht aus (das wäre, wie du richtig sagst, nicht sinnvoll), sondern handle sie nur recht zügig ab und behandle im Rest des Abschnitts (nach dem von dir zitierten Hinweiskasten) dann nur noch die übrigen rationalen Zahlen - denn während das Konzept, dass eine irrationale Zahl nicht genau mit endlich vielen Ziffern darstellbar ist, jedem Leser mit mathematischer Schulbildung klar sein dürfte, ist es das Konzept, dass 0,1 binär eben nicht endlich darstellbar ist, welches tatsächlich erklärungsbedürftig ist und dementsprechend bevorzugt behandelt wird.

Grüße,

RIDER

Hallo Christian Kruse,

var max = Number.MAX_VALUE;
var x = max + 10;

var min = Number.MIN_VALUE;
var y = min - 10;

console.log(x, x == max, y, y == min);

Und ja, das Verhalten ist… merkwürdig.

Den Maximum-Fall hat der Martin schon erwähnt. Da gibt es keinen Überlauf.

max ergibt bei mir 1.7e+308, da fallen die 1e+1 nicht auf.

min ergibt bei mir 5e-324, also fast null und mitnichten die kleinste Zahl.

Bis demnächst
Matthias

Hallo,

Ja, arithmetischer Überlauf...

der tritt natürlich nur bei "echeten" Integerzahlen auf. Also im Webumfeld bzw. bei Javascript nicht von Bedeutung.

Äh, doch:

var max = Number.MAX_VALUE;
var x = max + 10;

var min = Number.MIN_VALUE;
var y = min - 10;

console.log(x, x == max, y, y == min);

Und ja, das Verhalten ist… merkwürdig.

das ist aber die schon weiter oben beschriebene Folge der endlichen Genauigkeit.

Ich meine die Eigenschft (oder Eigenart) von Integerzahlen (z.B. in C, Fortran oder auch LabView), dass es bei Bereichsüberschreitung keinen Overflowerror gibt und das Carry einfach ignoriert wird.

Gruß Jürgen

Aloha ;)

Man sollte also bei
$$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$
nicht von „der binomischen Formel“ sprechen, damit der Begriff für $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$ frei wird?

Das habe ich so nie behauptet. Auch das ist "eine" binomische Formel, oder "die" binomische Formel, wenn man das "die Formel" sieht wie "der Lehrsatz" in "der binomische Lehrsatz". Alle die genannten Formeln sind binomische Formeln; deine These war, die "dritte binomische Formel" sei keine - und das ist so nicht richtig, insbesondere, da sich nicht jede beliebige binomische Formel aus "dem binomischen Lehrsatz" ableiten muss, um binomisch heißen zu können.

Aber wie nennt man dann $$\binom{n}{k}$$, wenn nicht „Binomialkoeffizient“?

Auch das ist mit meiner Argumentation nicht ausgeschlossen - der Binomialkoeffizient ist eine Entsprechung der Koeffizienten innerhalb einer binomischen Formel (nämlich der binomischen Formel, die im binomischen Lehrsatz vorkommt) und ist daher genauso berechtigt binomisch zu heißen wie eine Formel, die für ein Binom gültig ist - eben wie der binomische Lehrsatz, die ersten und zweiten binomischen Formeln und eben auch die dritte binomische Formel.

Übrigens: Den binomischen Lehrsatz als binomische Formel zu bezeichnen halte ich nicht unbedingt für korrekt - und ob die Formel, die im binomischen Lehrsatz vorkommt, dann "die binomische Formel" heißen muss, nur weil der Lehrsatz "der binomische Lehrsatz ist", darüber kann man sich wohl streiten.

Und wenn man das nun tatsächlich möchte, also die Formel aus dem binomischen Lehrsatz als "die binomische Formel" zu bezeichnen, dann ist damit nicht per se ausgeschlossen, dass es nicht auch weitere binomische Formeln geben kann.

Grüße,

RIDER

Aloha ;)

Aber: Entgegen deiner Aussage ist die "dritte binomische Formel" tatsächlich eine "binomische Formel". Denn ein "Binom" ist "Summe oder Differenz aus zwei Gliedern" oder "Summe oder Differenz zweier Monome", und damit ist die "dritte binomische Formel" definitiv eine Formel, die ein Binom enthält/vereinfacht, und damit insbesondere eine "binomische Formel".

$$a^n - b^n$$ ist auch ein Binom. Nach deiner Argumentation müsste man die allgemeine Formel
$$a^n - b^n = \left( a - b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1} b^k$$
dann aber auch „binomische Formel“ nennen. Wäre das wirklich sinnvoll?

Ja, denn auch das ist eine binomische Formel, insbesondere im wörtlichen Sinne. Ob es sinnvoll ist, sie im allgemeinen Sprachgebrauch speziell zu benennen, z.B. als "dritte binomische Formel n-ten Grades", darüber entscheidet vor allem die Häufigkeit, in der man sich in dieser Form darauf beziehen möchte, und der dann daraus resultierende Übergang in den allgemeinen Sprachgebrauch.

Grüße,

RIDER

@@Tabellenkalk

Kann es sein, dass ihr beide ständig die 3. Formel verkehrt denkt?

Nicht, wenn man von den allgemeinen Formeln ausgeht:

$$\left( a + b \right) ^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

$$a^n - b^n = \left( a - b \right) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1} b^k$$

Der einfachere Term steht links, der in eine Summe bzw. ein Produkt mit einer Summe zerlegte steht rechts.

Für den Speziallfall n = 2 ergibt das eben

$$\left( a + b \right) ^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$a^2 - b^2 = \left( a - b \right) \left( a + b \right)$$

LLAP 🖖

Aloha ;)

Kann es sein, dass ihr beide ständig die 3. Formel verkehrt denkt? So wie zitiert, passt sie tatsächlich nicht zu den ersten beiden. Ihr müsst sie umdrehen:

1. (a+b)(a+b)
2. (a-b)(a-b)
3. (a+b)(a-b)

Korrekt - ist aber Definitionsfrage und war ja nie Gegenstand der Diskussion ;)

Grüße,

RIDER