Null durch Null

[Jens Holzkämper]

Tach,

Der Graph der Funktion f(x)=x/x hingegen erhält man eine waagerechte Gerade, die lediglich an der Stelle 0 ein "Loch" hat (wird durch einen kleinen Kreis an dieser Stelle verdeutlicht). So eine Gerade kann man natürlich recht simpel mit einer zusätzlichen Definition schließen, indem man sagt:

f(x)=x/x für alle x != 0
f(0)=1

... womit der Unterschied zwischen einer reparablen und einer irreparablen Definitionslücke erklärt wäre.
Aber trotzdem bleibt es eine Definitionslücke, denn die Richtigkeit der "Reparatur" wird sich nicht hundertprozentig verifizieren lassen, außer mit Alltagsbeobachtungen.

aber natürlich ist die richtigkeit beweisbar, man kann schließlich beweisen, dass die neue Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich nun stetig ist (sogar beliebig häufig stetig differenzierbar, wie jede konstante Funktion). Die Herleitung einer solchen stetigen Fortsetzung ist häufig, u.a. in diesem Fall, mit der Regel von de l'Hospital möglich:
Danach gilt [latex]\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}[/latex], falls [latex]\lim_{x \to x_0} f(x)=0 \wedge \lim_{x \to x_0} g(x)=0 [/latex] oder falls [latex]\lim_{x \to x_0} f(x)=\infty \wedge \lim_{x \to x_0} g(x)=\infty [/latex].
In unserem speziellen Fall gilt offensichtlich [latex]\lim_{x \to 0} f(x)=\lim_{x \to 0} g(x)=0[/latex], also können wir die Ableitung betrachten [latex]f'(x)=g'(x)=1[/latex], und erhalten [latex]\lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1}=1[/latex].
Mit Hilfe von de l'Hospital kann man dann also für einige Spezialfälle das Problem [latex]\frac{0}{0}[/latex] lösen.

mfg
Woodfighter