0 = cos²x -sin²x
0 0 
Der Martin
0 0 0 
Gunnar Bittersmann
0 0 
O'Brien
0
0 = cos²x -sin²x
Hallo,
Ich stocke wieder einmal bei einer Rechnung:
[latex]0 = \cos^2x -\sin^2x[/latex]
Die Lehrerin hat uns noch den Tipp gegeben dass das ganze über Tangens auszurechnen geht. Von Tangens weiß ich:
[latex]\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}[/latex]
Die Lösung zu der oben angegebenen Aufgabe lautet:
[latex]x = ± \frac{\pi}{4} + n \pi[/latex]
Aber ich habe nicht einen einzigen Ansatz gefunden, wie ich auf das Ergebniss kommen könnte. Könnt ihr mir da ein wenig helfen?
Grüße
Jeena Paradies
-
Hello Ric,
[latex]0 = \cos^2x -\sin^2x[/latex]
ich kenn nur
[latex]1 = \cos^2x +\sin^2x[/latex]
und Wiki steht heute leider
http://de.wikipedia.org/wiki/Winkelfunktionen
Harzliche Grüße vom Berg
http://www.annerschbarrich.deTom
--
Fortschritt entsteht nur durch die Auseinandersetzung der Kreativen
Nur selber lernen macht schlau
-
Hello out there!
ich kenn nur
1 = cos²x + sin²xDas gilt für _alle_ x.
Die Frage war: für _welche_ x gilt
0 = cos²x - sin²x?See ya up the road,
Gunnar--
“Remember, in the end, nobody wins unless everybody wins.” (Bruce Springsteen)-
Hello,
Hello out there!
ich kenn nur
1 = cos²x + sin²xDas gilt für _alle_ x.
Die Frage war: für _welche_ x gilt
0 = cos²x - sin²x?Hab ich ja auch nix dagegen einzuwenden :-)
Dank zweier Formeln kann man aber jeweils die eine Winkelfunktion substituierenHarzliche Grüße vom Berg
http://www.annerschbarrich.deTom
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Fortschritt entsteht nur durch die Auseinandersetzung der Kreativen
Nur selber lernen macht schlau
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Hallo Jeena,
0 = cos²(x) - sin²(x)
das bedeutet doch etwas übersichtlicher geschrieben
cos²(x) = sin²(x)
oder nach dem Wurzelziehen
cos(x) = ±sin(x)
Damit ist die erste Lösung gleich mal bei 45°=π/4, und dadurch, dass das Vorzeichen keine Rolle spielt, gibt es alle 90°, also bei 135°=3π/4, bei 225°=5π/4 und 315°=7π/4 weitere Lösungen. Das kann man sehr anschaulich lösen, wenn man cos(x), sin(x) und -sin(x) in ein Diagramm einzeichnet.
Die Lehrerin hat uns noch den Tipp gegeben dass das ganze über Tangens auszurechnen geht.
Hm. Möglich, dass man mit so einem Ansatz auch was ausrichten kann, aber mir kommt es unnötig kompliziert vor.
[latex]x = ± \frac{\pi}{4} + n \pi[/latex]
Ich hätte es nach meinem Ansatz anders formuliert:
x = π/4 + n*(π/2)
Das bedeutet aber letztendlich dasselbe, nur das Plus/Minus ist weg.
Schönen Abend noch,
Martin--
Faulheit ist, mit dem Cocktailshaker in der Hand auf das nächste Erdbeben zu warten. -
Hi,
ähm, meine Mathekenntnisse sind eingestaubt, aber ist das nicht "einfach" so:
[latex]=> \cos^2x = \sin^2x[/latex]
[latex]=> \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = 1[/latex]
Wurzel (daher +/- im Ergebnis)
[latex]=> \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = +/-1[/latex]
[latex]=> \tan x = +/-1[/latex]
(ich schreib jetzt mal arc tan, keine Ahnung ob das so heißt...)
[latex]=> \arctan 1 = x[/latex]
[latex]=> x=\pi[/latex]MfG
Rouven--
-------------------
ss:) zu:) ls:& fo:) de:< va:{ ch:? sh:) n4:( rl:? br:$ js:| ie:) fl:(-
Hello out there!
[latex]=> \tan x = +/-1[/latex]
Bis hierher richtig (außer dass es mit [latex]\LaTeX[/latex] besser geht: '±' ist '\pm'; '⇒' ist '\Rightarrow')
[latex]\Rightarrow \tan x = \pm 1[/latex](ich schreib jetzt mal arc tan, keine Ahnung ob das so heißt...)
Das tut es (ohne Leerzeichen).
[latex]=> \arctan 1 = x[/latex]
Da hast du einiges vergessen:
• Was ist mit der -1?
• Was ist mit den unendlich vielen anderen Lösungen?See ya up the road,
Gunnar--
“Remember, in the end, nobody wins unless everybody wins.” (Bruce Springsteen) -
Nur der Vollständigkeit halber:
[latex] \cos^2x = \sin^2x[/latex]
[latex]=> \frac{\sin^2x}{\cos^2x} = 1[/latex]Aber natürlich nur, wenn [latex] \cos^2x \neq 0 [/latex] gilt, was leicht zu begründen ist.
Claus
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Hallo,
Aber ich habe nicht einen einzigen Ansatz gefunden, wie ich auf das Ergebniss kommen könnte. Könnt ihr mir da ein wenig helfen?
0 = cos²x - sin²x
1 = cos²x + sin²x
1 = 2 sin²xsin x = ±√0.5
x = ±45° bzw. ±pi/4 und der Symmetrie wegen in pi-Schritten weiterzaehlen.
MfG, Thomas
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Hallo Thomas,
Ich hab erst mal überlegt, was Du da eigentlich wurstelst. Du addierst wohl die beiden Gleichungen?
0 = cos²x - sin²x
1 = cos²x + sin²xDas gibt dann aber:
1 = 2 cos²x
cos x = ±√0.5Das führt freilich zur gleichen Lösung. Der von der Lehrerin angedachte Lösungsansatz ist aber wohl der von Rouven, wobei natürlich arctan 1 = PI/4.
Grüße
Daniel
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Hello out there!
Ich hab erst mal überlegt, was Du da eigentlich wurstelst. Du addierst wohl die beiden Gleichungen?
Nein; zweite minus erste.
See ya up the road,
Gunnar--
“Remember, in the end, nobody wins unless everybody wins.” (Bruce Springsteen) -
Hallo,
Ich hab erst mal überlegt, was Du da eigentlich wurstelst. Du addierst wohl die beiden Gleichungen?
Also gewurstelt habe ich eigentlich nicht.
Der von der Lehrerin angedachte Lösungsansatz ist aber wohl der von Rouven, wobei natürlich arctan 1 = PI/4.
Kommt oefter vor, dass meine Loesungsansaetze nicht den Gedanken der Lehrerin entsprechen ;-).
MfG, Thomas
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Hallo,
0 = cos²x - sin²x
1 = cos²x + sin²xWo kommt so urplötzlich die 1 her?
1 = 2 sin²x
Was ist hier passiert, dass cos weg, dafür aber eine 2 da ist?
Grüße
Jeena Paradies-
Hallo,
0 = cos²x - sin²x
1 = cos²x + sin²x
Wo kommt so urplötzlich die 1 her?Die zweite Gleichung ist eine bekannte Beziehung zwischen den Quadraten von Sinus und Cosinus.
1 = 2 sin²x
Was ist hier passiert, dass cos weg, dafür aber eine 2 da ist?Die erste Gleichung sagt, dass cos²x gleich sin²x sein soll. Also habe ich cos²x in der zweiten Gleichung durch sin²x ersetzt und nun steht rechts sin²x + sin²x --> 2 sin²x.
MfG, Thomas
-
Hello out there!
[1 = cos²x + sin²x] ist eine bekannte Beziehung zwischen den Quadraten von Sinus und Cosinus.
Bekannt unter „Satz des Pythagoras“ (am Einheitskreis).
See ya up the road,
Gunnar--
“Remember, in the end, nobody wins unless everybody wins.” (Bruce Springsteen)
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Hello out there!
Noch ’ne Möglichkeit, zur Lösung zu kommen:
cos 2x = cos²x - sin²x = 0
2x = ½π + kπ (k ∈ ℤ)
x = ¼π + ½kπSee ya up the road,
Gunnar--
“Remember, in the end, nobody wins unless everybody wins.” (Bruce Springsteen)-
Hallo,
cos 2x = cos²x - sin²x = 0
2x = ½π + kπ (k ∈ ℤ)
x = ¼π + ½kπIch verstehe nicht so recht wie du auf die erste Zeile kommst, wo kommt plötzlich cos 2x her?
Und ehrlich gesagt auch nicht auf die zweite, wieso verschwindet plötzlich cos und sin?
Grüße
Jeena Paradies-
Hi,
cos 2x = cos²x - sin²x = 0
2x = ½π + kπ (k ∈ ℤ)
x = ¼π + ½kπIch verstehe nicht so recht wie du auf die erste Zeile kommst, wo kommt plötzlich cos 2x her?
Siehe in deiner Formelsammlung unter Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen nach und du findest genau das, was Gunnar geschrieben hat.
Und ehrlich gesagt auch nicht auf die zweite, wieso verschwindet plötzlich cos und sin?
Aus Zeile 1 folgt:
cos 2x = 0
Die Lösung dazu ist Zeile 2, d.h. die Nullstellen des cos() mit dem Argument 2x. Und da du x und nicht 2x suchst, teilst du Zeile 2 durch 2. Alles klar?
Schönen Sonntag noch!
O'Brien--
Frank und Buster: "Heya, wir sind hier um zu helfen!"
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Hallo,
Ich stocke wieder einmal bei einer Rechnung:
[latex]0 = \cos^2x -\sin^2x[/latex]
Um hier zu einer Lösung zu kommen mußt Du nichtmal rechnen, es bedarf nur etwas Kenntnis der Mathematik. Deine Gleichnung ist lediglich ein Sonderfall für die allgemeine Hyperbelgleichnung:
[latex]c = \cos^2x -\sin^2x[/latex]
Für den Fall c=0 ist die resultierende Funktion im Punkt x=0 nicht mehr differenzierbar den die resultierenden Hyperbeln (sind dann wohl nicht wirklich noch Hyperbeln) fallen auch die Winkelhalbierenden der entsprechenden Quadranten. Also:
[latex]f(x) = ± x[/latex]
Gruß
KiloBravo-
Hello out there!
es bedarf nur etwas Kenntnis der Mathematik.
Bedarf deine einer Auffrischung? Oder meine?
die allgemeine Hyperbelgleichnung:
c = cos²x - sin²xWie soll das die Gleichung einer Hyperbel sein?
Eine Hyperbel ist eine Menge von Punkten (x, y); in der Beschreibung von deren Eigenschaften sollte sowohl x als auch y auftauchen.
See ya up the road,
Gunnar--
“Remember, in the end, nobody wins unless everybody wins.” (Bruce Springsteen)
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