Marc Reichelt: Lineare Algebra: lineare Abhängigkeit von Vektoren bestimmen

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Hallo Cruz,

jetzt wirds n'bissl mathematisch. Betrachten wir 3 dimensionale Vektoren. Habe ich genau 3 Stück davon, ist es ist kein allzu großer Aufwand festzustellen, ob sie eine Basis bilden, sprich linear unabhängig sind. Ich kann sie in eine Matrix packen und z.B. die Determinante der Matrix berechnen oder eine obere Dreiecksmatrix mit Gauß erzeugen. Habe ich allerdings 4 (oder mehr) 3D Vektoren und will rausfinden, ob eine Basis darin existiert, dann habe ich plötzlich 4 (oder mehr) Matrizen zu prüfen. Der Aufwand wächst kombinatorisch.

Das Problem ist, dass der Aufwand nicht linear wächst - daher gibt es auch keine einfache Formel dafür.
Die allgemeine Vorgehensweise ist, die Determinante der Matrix zu berechnen.
Wenn die Determinante ungleich 0 ist, nennt man die Matrix "regulär", d.h. unter anderem, dass die Vektoren linear unabhängig sind - die Matrix ist außerdem invertierbar.

Meine beste Lösung bisher ist es zwei nicht kolineare Vektoren aus der Menge festzuhalten und dann mit je einem Vektor aus der Vektor auf lin. unabh. zu prüfen. So bleibt der Aufwand wenigstens linear in der Mächtigkeit der Menge, aber lieber wäre mir soetwas wie alle Vektoren in eine große Matrix zu stecken und dann irgendeine Zauberformel darauf anzuwenden.

Wenigstens die Zauberformel gibt es, wenn man ein in JavaScript geschriebenes Online-Tool zum Berechnen der Determinante einer Matrix hinzuzählen darf. ;-)

Grüße

Marc Reichelt || http://www.marcreichelt.de/

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