abgefragte Daten auswerten

[dedlfix]

echo $begrüßung;

Aber die seite lädt und lädt und nichts wird angezeigt als ob ich ne Endloseschleife im Skript hätte (was wahrscheinlich der Fall ist ;-) )

Ja.

while ($row[category] = 1){
         echo $row[link];
      }

Das Ergebnis einer Zuweisung ist gleich dem Inhalt des zuzuweisenden Ausdrucks. Anders ausgedrückt: $a = $b ist eine Zuweisung des Werts von $b an $a, das Ergebnis davon ist ebenfalls $b. Dieses Ergebnis ist nun deine while-Bedingung, und 1 entspricht true ...

while ($row[category] = 2){
         echo $row[link];
      }

Gleiche Problematik hier.

Wie kriege ich denn meine Ausgabe richtig?

Die inneren while-Konstrukte sind sicher nicht das, was du willst. Du suchst etwas, das auf den Namen Gruppenwechsel hört.

echo "$verabschiedung $name";