Textarea zeigt <br />

[dedlfix]

echo $begrüßung;

Eher indem die \n gar nicht erst zu <br> konvertiert werden.
ja eher (nämlich je nach Bedürfnis der verwendeten Datenbank), also nicht generell.
Ist der Weg HTML -> Server -> HTML so ist bei Flatfiles gegen \n -> <br> -> \n nichts einzuwenden.

Weder eine Datenbank noch Flatfiles haben das Bedürfnis nach HTML-spezifischen Dingen. Wenn du <br> als Zeichen für einen Zeilenumbruch speichern willst, musst du auch dafür sorgen, dass die Zeichenfolge <br>, die nicht für einen Zeilenumbruch stehen soll, entsprechend gekennzeichnet wird. Du handelst dir mit solch einer dem Kontext nicht gerecht werdenden Kodierung nur weitere Probleme ein.

echo "$verabschiedung $name";