Kann mit mail() nur an admin@localhost Mails verschicken.

[dedlfix]

echo $begrüßung;

Wie krieg ich das hin das ich nicht nur an lokale Adressen Mails schicken kann?

Frag dazu den Administrator deines Systems! Er weiß am besten, was er wie konfiguriert hat und wie man damit umgehen muss.

echo "$verabschiedung $name";