Kann mit mail() nur an admin@localhost Mails verschicken.

[dedlfix]

echo $begrüßung;

Ich bin der Admin ich habe mir meinen eigenen Server eingerichtet.

Dann lies die Dokumentation zu deinem Mailserver und konfigurier ihn so, dass er die Mails weiterleiten mag. Dazu sollte es eine Einstellung geben, für was er alles als Relay funktionieren soll. Das kann beispielsweise die IP-Adresse des Absenders sein oder auch die From-Zeilen-Angabe.

echo "$verabschiedung $name";