Kann mit mail() nur an admin@localhost Mails verschicken.

[dedlfix]

echo $begrüßung;

» oder auch die From-Zeilen-Angabe.
Und damit ist man in der Welt der Open Relays auch gleich willkommen.

Das kommt darauf an, ob der Mailserver von außen erreichbar ist. Ich nehme nicht an, dass das gewünscht ist und hoffe, dass das nicht der Fall ist.

echo "$verabschiedung $name";