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echo $begrüßung;
kann man irgendwie auslesen, mit welchem Zeichensatz/Encoding entgegengenommene Daten erstellt wurden?
Prinzipiell kann man das nicht. Als Mensch kann man beim Lesen verschiedene Kodierungen durchprobieren und anhand des des Kontextes entscheiden, ob bestimmte Zeichen richtig interpretiert werden. Eine Machine kann das nicht. Sie kann gegebenenfalls formale Parameter prüfen, beispielsweise UTF-8-Sequenzen. Wenn eine Datei ungültiges UTF-8 ist, kann sie aber immer noch alles mögliche andere sein.
...oder das Textfeld im Browser, das dann in die Datenbank eingetragen werden soll?
Das ist was anderes. Hier halten sich die Browser an die Kodierung der Seite, in der das Textfeld steht. Es gibt zwar das accept-charset für das Formular, aber daran halten nicht alle Browser.
echo "$verabschiedung $name";