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Moin.
»» Was denn auch mit der Definition der Wurzel im Reellen übereinstimmt und erklärt, warum ∛-8 = 1 + i√3 und nicht -2 ist. [Wikipedia]
und gleichzeitig den Vorteil der algebraischen Abgeschlossenheit wieder vernichtet.
Hä? Die Zahl der Nullstellen eines Polynoms bzw. Lösungen einer algebraischen Gleichung ist unabhängig von der Definition einer Wurzelfunktion: schon im Reellen ist Wurzelziehen i.A. keine äquivalente Umformung!
Und die Auszeichnung einer speziellen Lösung als 'die Wurzel' ist gerechtfertigt, wenn man [latex]^n\sqrt x = x^{\frac 1 n}[/latex] berücksichtigt, z.B.:
[latex]^3\sqrt{-8} = (-8)^{\frac 1 3} = (8\exp{i\pi})^{\frac 1 3} = 8^{\frac 1 3}\exp{i\frac \pi 3}=2(\cos{\frac \pi 3} + i\sin{\frac \pi 3}) = 2(\frac 1 2 + i \frac 1 2 \sqrt 3) = 1 + i \sqrt 3[/latex]
Christoph
Gunnar Bittersmann