Kurze Frage zur Bruchrechnung

[nic]

Hi,

mir ist bei einer Rechnung gerade etwas aufgefallen. Und zwar will ich folgenden einfachen Bruch vereinfachen:

(4x+4)^2 / (1x+1)^2

Da beides mal Hoch 2 ist kann ich den Bruch zunächst so schreiben:

( (4x+4) / (1x+1) )^2

Ich klammere aus: ( (4 * (x+1)) / (1 * (x+1)) )^2
Und kann nun (x+1) rausstreichen, da es sowohl im Nenner als auch im Zähler steht. Also habe ich: (4/1)^2 = 16

Jetzt meine eigentliche Frage. Kann ich gleich zu Beginn einfach das x rausstreichen? Also hier:
( (4x+4) / (1x+1) )^2

Es würde folgen: ( (4+4) / (1+1) )^2 = ( 8 / 2 )^2 = 16

Ist es nur Zufall, dass hier das gleiche rauskommt oder gibt es dafür eine allgemeine Regel, die ich nicht kenne? Habe immer gedacht dass man nur bei reinen Produkten Sachen rausstreichen darf.

Grüße,
nic

[Klaus]

Du darfs das x natürlich nicht "herausstreichen". Aber auch nicht das x+1, es sei denn du sagst für alle x außer x=-1.

[nic]

Aber auch nicht das x+1, es sei denn du sagst für alle x außer x=-1.

Hm, stimmt ... daran habe ich noch gar nicht gedacht. Wenn ich den Bruch für alle Zahlen haben will, kann ich ihn also gar nicht vereinfachen oder?

[Jens Holzkämper]

Tach,

Du darfs das x natürlich nicht "herausstreichen". Aber auch nicht das x+1, es sei denn du sagst für alle x außer x=-1.

x kann nicht -1 sein, dafür sorgt bereits der Originalbruch.

mfg
Woodfighter

[Beat]

Du darfs das x natürlich nicht "herausstreichen". Aber auch nicht das x+1, es sei denn du sagst für alle x außer x=-1.

x kann nicht -1 sein, dafür sorgt bereits der Originalbruch.

x kann -1 sein
aber f(x) für x=-1 ist undefiniert wegen der Division durch Null.

Nehme ich den Bruch
(x/x)*n
so ist es intuitiv, ihn zu kürzen zu 1*n

Wir sollten aber im Auge behalten, dass jede Konvertierung neue Grenzbedingungen setzt, und alte berücksichtigen muss.
Kürzen von Variablen ist nicht das Gleiche wie das Kürzen von Festwerten.

Oder anders gesagt: Wer würde den Ausdruck
f(0)=0/0
kürzen?

mfg Beat

[Klaus]

x kann nicht -1 sein, dafür sorgt bereits der Originalbruch.

Was x sein darf oder nicht, dafür sorgt immer der Originalbruch!

[Jens Holzkämper]

Tach,

x kann nicht -1 sein, dafür sorgt bereits der Originalbruch.
Was x sein darf oder nicht, dafür sorgt immer der Originalbruch!

das sagte ich, die Umformung durch (x+1) zu teilen, ändert somit nichts am Wahlbereich für x und ist nicht weiter erwähnenstwert.

mfg
Woodfighter

[suit]

Ist es nur Zufall, dass hier das gleiche rauskommt oder gibt es dafür eine allgemeine Regel, die ich nicht kenne? Habe immer gedacht dass man nur bei reinen Produkten Sachen rausstreichen darf.

In diesem Fall ist das Zufall da das Verhältnis - was anderes ist ein Bruch ja auch nicht von 4x : x dasselbe ist wie 4 : 1 und somit auch 4x+4 : x+1

Solange das Verhältnis stimmt, kannst du also ohne zu zögern kürzen - du kannst aber imho unmöglich nach x auflösen, ob x nun 1 ist oder x = 7 - das Ergebnis wird des bruchs  wird 4 : 1 bzw. 4 / 1 = 4 sein.

[Matthias Apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, nic!

(4x + 4)^2 = (4x + 4) * (4x + 4) = 4(x + 1) * 4(x + 1) = 16(x + 1)^2

Matthias

[suit]

Om nah hoo pez nyeetz, nic!

(4x + 4)^2 = (4x + 4) * (4x + 4) = 4(x + 1) * 4(x + 1) = 16(x + 1)^2

Das ist aber nur der Zähler des Bruchs - der Nenner fehlt noch. Den kann man gleich auflösen. Und egal wofür x nun steht, das Verhältnis ändert sich nicht.

[Matthias Apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, suit!

Das ist aber nur der Zähler des Bruchs - der Nenner fehlt noch. Den kann man gleich auflösen. Und egal wofür x nun steht, das Verhältnis ändert sich nicht.

Korrekt. Ich wollte nur einen anderen Weg der Umformung zeigen. Zu beachten ist jedoch, dass das Verhältnis für x = -1 nicht definiert ist, wie auch schon geschrieben.

Matthias

[Der Martin]

Hallo,

Zu beachten ist jedoch, dass das Verhältnis für x = -1 nicht definiert ist, wie auch schon geschrieben.

das ist zwar richtig, der Ausdruck hat aber an dieser Stelle keinen Pol. Eine Grenzwertbetrachtung oder eine Extrapolation liefert von links und von rechts aus denselben Wert, so dass man ihn durch eine stetige Fortsetzung zusätzlich einfügen kann.

So long,
 Martin

[Beat]

das ist zwar richtig, der Ausdruck hat aber an dieser Stelle keinen Pol. Eine Grenzwertbetrachtung oder eine Extrapolation liefert von links und von rechts aus denselben Wert, so dass man ihn durch eine stetige Fortsetzung zusätzlich einfügen kann.

Nicht wirklich
     f(x)= x / x
Diese Formel ist zwar überführbar in f(x')=1
Aber sie hat die Besonderheit einer Definitionslücke, eine echte Eigenschaft der ursprünglichen Formel.

Daran ändert nichts, dass sowohl Limes Betrachtungen über f(x) oder f'(x) eine Stetigkeit nahelegen. Die Konstatierung der ursprünglichen Definitionslücke ist Teil des Ergebnisses.

Gerade auch für Software-Entwickler.

mfg Beat

[Matthias Apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Der Martin!

der Ausdruck hat aber an dieser Stelle keinen Pol. Eine

Grenzwertbetrachtung[1]

oder eine Extrapolation liefert von links und von rechts aus denselben Wert, so dass man ihn durch eine stetige Fortsetzung zusätzlich einfügen kann.

auch korrekt, was bedeutet dass man einen Funktionswert[ebenfalls 1] definieren könnte. Nennt man auch hebbare Unstetigkeitsstelle.

[1] wenn es denn ein Funktionsterm sein sollte. Der Term selbst liefert für die Einsetzung x = - 1 keinen Termwert, ist also nicht definiert.

Matthias

[Der Martin]

Hallo,

ich habe irgendwie das Eindruck oder den Gefühl, ;-) du möchtest mich auf einen Formfehler hinweisen. Den kann ich aber nicht erkennen.

der Ausdruck hat aber an dieser Stelle keinen Pol. Eine
Grenzwertbetrachtung[1]
[1] wenn es denn ein Funktionsterm sein sollte. Der Term selbst liefert für die Einsetzung x = - 1 keinen Termwert, ist also nicht definiert.

Erstens ist der Ausdruck (4x+4)² / (1x+1)² natürlich sehr wohl ein Funktionsterm; er stellt eine Funktion von x dar, auch wenn man sie nicht mit einem symbolischen Namen ausgestattet hat.

Zweitens sehe ich nicht, was die Frage, ob es sich nun um eine Funktion handelt oder nicht, mit dem Begriff der Grenzwertbetrachtung zu tun hat. Selbstverständlich kann ich mit dem genannten Ausdruck eine Untersuchung für x→-1+0 und x→-1-0 machen, unabhängig davon, wie ich den Term nenne.

Nennt man auch hebbare Unstetigkeitsstelle.

So ist es. Und sprachlich besser _be_hebbare Unstetigkeitsstelle. Eine Unvollkommenheit oder ein Makel wird _be_hoben, nicht _ge_hoben.

Ciao,
 Martin

[Matthias Apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Der Martin!

ich habe irgendwie das Eindruck oder den Gefühl, ;-) du möchtest mich auf einen Formfehler hinweisen. Den kann ich aber nicht erkennen.

Formfehler sind sowohl in der Mathematik als auch in der Juristerei sehr lästig.

Erstens ist der Ausdruck (4x+4)² / (1x+1)² natürlich sehr wohl ein Funktionsterm; er stellt eine Funktion von x dar, auch wenn man sie nicht mit einem symbolischen Namen ausgestattet hat.

Nein.

Zweitens sehe ich nicht, was die Frage, ob es sich nun um eine Funktion handelt oder nicht, mit dem Begriff der Grenzwertbetrachtung zu tun hat. Selbstverständlich kann ich mit dem genannten Ausdruck eine Untersuchung für x→-1+0 und x→-1-0 machen, unabhängig davon, wie ich den Term nenne.

Grenzwertbetrachtungen kannst du nur dann machen, wenn der Term (in diesem Fall) ein Funktionsterm ist.

Nennt man auch hebbare Unstetigkeitsstelle.

ist imho ein Fachterminus

Matthias

[Der Martin]

Hi Matthias,

Formfehler sind sowohl in der Mathematik als auch in der Juristerei sehr lästig.

ja, stimmt.

Erstens ist der Ausdruck (4x+4)² / (1x+1)² natürlich sehr wohl ein Funktionsterm; er stellt eine Funktion von x dar, auch wenn man sie nicht mit einem symbolischen Namen ausgestattet hat.
Nein.

Warum nicht? Was fehlt dir zum Glü^W^Wzur Funktion?

Grenzwertbetrachtungen kannst du nur dann machen, wenn der Term (in diesem Fall) ein Funktionsterm ist.

Da er das meiner Ansicht nach ist, erübrigt sich diese Einschränkung. Aber dennoch: Was ist für dich ein Funktionsterm? Für mich ist es eine Vorschrift (vulgo: Formel), die Elemente einer Menge eindeutig auf Elemente einer anderen Menge abbildet. Das erfüllt der vorher zitierte Term. Er bildet Werte, die für x eingesetzt werden, auf Werte einer Ergebnismenge ab, und jeder Wert für x (außer -1) führt zu einem eindeutigen Ergebnis.

So long,
 Martin

[Matthias Apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Der Martin!

Aber dennoch: Was ist für dich ein Funktionsterm? Für mich ist es eine Vorschrift (vulgo: Formel), die Elemente einer Menge eindeutig auf Elemente einer anderen Menge abbildet. Das erfüllt der vorher zitierte Term. Er bildet Werte, die für x eingesetzt werden, auf Werte einer Ergebnismenge ab, und jeder Wert für x (außer -1) führt zu einem eindeutigen Ergebnis.

setzt voraus, dass die x Elemente einer Menge sind. Zum Glück fehlt also der Definitionsbereich. Es steht außer Frage, dass dieser Term durchaus ein Funktionsterm sein kann.

y = 8 (= 0x +8) oder x = 7 (= 0a + 0*b + 7) können ebenfalls Funktionsterme sein, aber erst mit der Angabe eines Definitionsbereiches.

Matthias

[Alexander Brock]

Hallo Forum,

Sei f eine Funktion von den Reellen Zahlen außer {-1} in die Reellen Zahlen, f(x) := (4x+4)^2/(x+1)^2.

[...] Nennt man auch hebbare Unstetigkeitsstelle.

f hat zwar eine behebbare Definitionslücke bei -1, ist aber auf dem ganzen Definitionsbereich stetig. Es handelt sich also um eine behebbare Definitionslücke.

Gruß
Alexander Brock

[Bademeister]

Hi.

Es handelt sich also um eine behebbare Definitionslücke.

Also der Begriff "behebbare Definitionsluecke" trifft es irgendwie nicht. Denn jede Definitionsluecke koennte man "beheben", indem man die Funktion einfach irgendwie dort forsetzt. Es geht aber doch eher darum, ob man sie so fortsetzen kann, dass die Funktion dort stetig ist. Daher ist "(be)hebbare Unstetigkeitsstelle" irgendwie der bessere Begriff, oder?

ist aber auf dem ganzen Definitionsbereich stetig.

Das ist aber nicht hinreichend, um f auch stetig fortsetzen zu koennen.

Viele Gruesse,
der Bademeister

[Bademeister]

Hi nic.

Jetzt meine eigentliche Frage. Kann ich gleich zu Beginn einfach das x rausstreichen? Also hier:
( (4x+4) / (1x+1) )^2

Es würde folgen: ( (4+4) / (1+1) )^2 = ( 8 / 2 )^2 = 16

Ist es nur Zufall, dass hier das gleiche rauskommt

Nein, nicht wirklich. Was Du beim "Rausstreichen" eines Faktors in einem Produkt (hier dem Produkt 4x bzw. 1x) tust, ist, den Faktor gleich 1 zu setzen. Da Du bereits festgestellt hast, dass das Ergebnis immer 16 ist, unabhaengig von x (ausser x = -1), ist das Ergebnis natuerlich auch dann 16, wenn Du x = 1 einsetzt.

oder gibt es dafür eine allgemeine Regel, die ich nicht kenne? Habe immer gedacht dass man nur bei reinen Produkten Sachen rausstreichen darf.

"Rausstreichen" darf man eigentlich schon mal gar nicht :-) Man darf auf der linken und rechten Seite mit dem gleichen Faktor multiplizieren (daher bei reinen produkten Faktoren != 0 rausstreichen: einfach mit ihrem Inversen multiplizieren) oder den gleichen Summanden addieren (bzw. daher bei Summen jeweils Summanden wegstreichen).

Also wenn Du was rausstreichen willst, dann geht das nur dann, wenn Du es rechtfertigen kannst, ohne das Wort "rausstreichen" zu verwenden :-)

Und Werte einsetzen bringt Dich natuerlich im allgemeinen Fall (wenn das Ergebnis von x abhaengt) nicht weiter, macht hier aber nichts kaputt.

Viele Gruesse,
der Bademeister

[Gunnar Bittersmann]

@@nic:

nuqneH

Jetzt meine eigentliche Frage. Kann ich gleich zu Beginn einfach das x rausstreichen? Also hier:
( (4x+4) / (1x+1) )^2

Es würde folgen: ( (4+4) / (1+1) )^2 = ( 8 / 2 )^2 = 16

Das geht hier nur, wenn Koeffizient von x und absolutes Glied in Zähler und Nenner im selben Verhältnis (hier 1 : 1) stehen.

Also auch bei
[latex]\left( \frac {4x+8}{x+2} \right)^2 = \left( \frac {4+8}{1+2} \right)^2 = 16[/latex]

Allgemein bei
[latex]\left( \frac {ax+ka}{bx+kb} \right)^2 = \left( \frac {a+ka}{b+kb} \right)^2 = \left( \frac {a}{b} \right)^2[/latex]

Qapla'

[Matthias Apsel]

Om nah hoo pez nyeetz, Gunnar Bittersmann!

Allgemein bei [latex]\left( \frac {ax+ka}{bx+kb} \right)^2 = \left( \frac {a+ka}{b+kb} \right)^2= \left( \frac {a(1+k)}{b(1+k)} \right)^2 = \left( \frac {a}{b} \right)^2[/latex]

[latex]k \not= -1[/latex]

Matthias

[Matthias Apsel]

bzw.

[latex]\left( \frac {ax+ka}{bx+kb} \right)^2, x \not= -k[/latex]

Matthias

[Beat]

mir ist bei einer Rechnung gerade etwas aufgefallen. Und zwar will ich folgenden einfachen Bruch vereinfachen:

(4x+4)^2 / (1x+1)^2

Achtung in dieser Gleichung hast du eine Definitionsl¨cke für
x=-1

Da beides mal Hoch 2 ist kann ich den Bruch zunächst so schreiben:

( (4x+4) / (1x+1) )^2

Ich klammere aus: ( (4 * (x+1)) / (1 * (x+1)) )^2
Und kann nun (x+1) rausstreichen, da es sowohl im Nenner als auch im Zähler steht. Also habe ich: (4/1)^2 = 16

Die Definitionsl¨cke bei f(x=-1) existiert immer noch.

mfg Beat

[Klaus]

Hi,
offensichtlich ist der Fragesteller noch kein Experte in der Algebra.
Warum dann z.T. derart wissenschaftliche Ausführungen?
Grüße,
Klaus

[Jens Holzkämper]

Tach,

offensichtlich ist der Fragesteller noch kein Experte in der Algebra.
Warum dann z.T. derart wissenschaftliche Ausführungen?

für die algebraisch interessierten Mitleser?

mfg
Woodfighter

[Beat]

offensichtlich ist der Fragesteller noch kein Experte in der Algebra.
Warum dann z.T. derart wissenschaftliche Ausführungen?

Interessante Frage.
Irgendwie geht es um Kommunikation, und Vermittlung statt Dominanz.
Du hast zwar gesagt, was er darf oder nicht (Dominanz), aber ihm nicht gesagt, warum das so ist (Wissen vermitteln).

Irgendwie signalisierst du, dass der Fragesteller eine Wissensvermittlung nicht verdient habe, sondern durch Entscheidungen betreut werden muss.

mfg Beat

[Klaus]

Irgendwie signalisierst du, dass der Fragesteller eine Wissensvermittlung nicht verdient habe, sondern durch Entscheidungen betreut werden muss.

... und Ihr signalisiert:
Hei, schaut wie intelligent ich bin!
Ob der Fragesteller es versteht, ist mir völlig schnuppe!

[Brillo Agent Nr. 1]

Hi Klaus,

... und Ihr signalisiert:
Hei, schaut wie intelligent ich bin!
Ob der Fragesteller es versteht, ist mir völlig schnuppe!

das ist in der Tat so. Dieses Aufplustern einiger nervt mich auch, aber ... was soll's? Für die meisten sind die Studienjahre vorbei, und mit der akademischen Karriere hat's auch nicht geklappt. Wo sonst sollen sie sich intellektuell -wenn auch teilweise auf nicht sonderlich ausgeprägtem Niveau- austoben und andere belehren wollen? Vielleicht abends noch in der VHS.

Gähn, Brillo
der unten im Hügel graben muss

[Bademeister]

Hi Klaus und Brillo.

Hi Klaus,

... und Ihr signalisiert:
Hei, schaut wie intelligent ich bin!
Ob der Fragesteller es versteht, ist mir völlig schnuppe!

das ist in der Tat so. Dieses Aufplustern einiger nervt mich auch, aber ... was soll's?

Welche Postings meint Ihr denn hier? Hier wurde sich ein bisschen ueber Bruchrechnung unterhalten, ueber genau das, wonach gefragt wurde.

Also nennt das Kind doch mal bitte beim Namen.

Danke, viele Gruesse,
der Bademeister

[Brillo Agent Nr. 1]

Hi Bademeister,

Welche Postings meint Ihr denn hier? Hier wurde sich ein bisschen ueber Bruchrechnung unterhalten, ueber genau das, wonach gefragt wurde.

Also nennt das Kind doch mal bitte beim Namen.

ach, ich persönlich meinte das nur generell, nicht auf diesen Thread bezogen. Hat aber auch nichts weiter zu bedeuten.

Schönen Abend,
Agent Brillo,
der sich immer tiefer hineingräbt