Verständnisfrage zu doppeltem Summenzeichen

[Kapiertnix]

Hallo miteinander,

ich versuche seit einiger Zeit eine mathematische Formel zu verstehen, aber leider habe ich trotz intensiver Suche keine auch nur im Ansatz verständliche Erklärung dazu gefunden, wie es leider sehr oft der Fall ist, wenn es um Mathematik geht.

Jedenfalls hoffe ich, dass mir hier vielleicht jemand weiterhelfen kann zu verstehen, was die folgende Definition einer Bézierfläche wirklich bedeutet:

$$ c(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m P_{i,j} B_i(u) B_j(v) $$

Irgendwie scheinen alle Autoren von Texten zu dem Thema davon auszugehen, dass sich diese Formel von selbst erklärt, aber mir erschließt sie sich leider nicht!

Die Definition von Bézierkurven im Gegensatz dazu ist ja noch relativ leicht zu verstehen:

$$ c(t) = \sum_{i=0}^n P_i B_i(t) $$

Daraus würde etwa im Fall einer kubischen Bézierkurve:

$$ c(t) = \sum_{i=0}^3 P_i B_i(t) $$

$$ c(t) = P_0 \cdot B_0(t) + P_1 \cdot B_1(t) + P_2 \cdot B_2(t) + P_3 \cdot B_3(t) $$

Das entspricht meinem Verständnis des Summenzeichens, wonach der Term zur rechten Seite des Zeichens mit den jeweiligen Werten der Laufvariable berechnet wird, und die Eregbisse dann summiert werden.

Demnach habe ich also versucht, dieses Konzept auch auf die obige Formel zur Bézierfläche anzuwenden, sprich, ich habe zunächst die rechte Seite von

$$ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m P_{i,j} B_i(u) B_j(v) $$

also

$$ \sum_{j=0}^m P_{i,j} B_i(u) B_j(v) $$

mit $$ i=0 $$ berechnet für $$ j=0,\dotsc, m $$, dann mit $$ i=1 $$ für $$ j=0,\dotsc, m $$ usw., und dann gemäß

$$ \sum_{i=0}^n $$

die Ergebnisse abschließend summiert.

Ich habe also das doppelte Summenzeichen gewissermaßen als Summe der Summen betrachtet.

Allerdings war diese Betrachtungsweise mit Blick auf die erhaltenen Ergebnisse offenbar falsch, weshalb ich mich (und hiermit euch) frage, was diese kryptische Formel denn nun tatsächlich zu bedeuten hat.

Vielen Dank und Gruß,

Kapiertnix

[Camping_RIDER]

Aloha ;)

ich versuche seit einiger Zeit eine mathematische Formel zu verstehen, aber leider habe ich trotz intensiver Suche keine auch nur im Ansatz verständliche Erklärung dazu gefunden, wie es leider sehr oft der Fall ist, wenn es um Mathematik geht.

Ich habe zwar formal Ahnung von Mathematik^[1], bin aber aktuell nicht im Thema (und kann mich grad auch nicht tief eindenken), ich stochere also einfach mal ein bissl im Nebel und hoffe, dir damit weiterzuhelfen.

Jedenfalls hoffe ich, dass mir hier vielleicht jemand weiterhelfen kann zu verstehen, was die folgende Definition einer Bézierfläche wirklich bedeutet:

$$ c(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m P_{i,j} B_i(u) B_j(v) $$

Du hast den Wikipedia-Artikel verlinkt, der aber eine ganz andere Definition zeigt. Zum Verständnis der Formel wäre es wichtig, zuerst einmal zu wissen, was genau die verwendeten Faktoren $$ P_{i,j} B_i(u) B_j(v) $$ sind, also ggf. wie sie definiert sind (auf Wikipedia sind jeweils Abhängigkeiten zu n,m formuliert, die hier nicht auftauchen). Schätzungsweise können wir erst dann ein wirkliches Ergebnis finden.

Das entspricht meinem Verständnis des Summenzeichens, wonach der Term zur rechten Seite des Zeichens mit den jeweiligen Werten der Laufvariable berechnet wird, und die Eregbisse dann summiert werden.

Soweit vollkommen richtig.

$$ \sum_{j=0}^m P_{i,j} B_i(u) B_j(v) $$

mit $$ i=0 $$ berechnet für $$ j=0,\dotsc, m $$, dann mit $$ i=1 $$ für $$ j=0,\dotsc, m $$ usw., und dann gemäß

$$ \sum_{i=0}^n $$

die Ergebnisse abschließend summiert.

Ich habe also das doppelte Summenzeichen gewissermaßen als Summe der Summen betrachtet.

Auch das ist soweit vollkommen richtig; alternative Definitionen wären mir nicht bekannt.

Allerdings war diese Betrachtungsweise mit Blick auf die erhaltenen Ergebnisse offenbar falsch, weshalb ich mich (und hiermit euch) frage, was diese kryptische Formel denn nun tatsächlich zu bedeuten hat.

Ich bin ziemlich sicher, dass das Problem hier nicht direkt bei $$ \sum\sum $$ liegt, sondern dass das offenbar falsche Ergebnis andere Ursachen hat (die es natürlich noch zu finden gilt). Am Summenzeichen und dessen Anwendung sollte es meiner Einschätzung nach also nicht liegen, dass da was falsches rauskommt.

Grüße und hoffe mindestens etwas geholfen zu haben,

RIDER

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1. Ich stehe in Mathematik knapp vor dem ersten Staatsexamen. ↩︎

[Kapiertnix]

Hallo Camping_RIDER

Jedenfalls hoffe ich, dass mir hier vielleicht jemand weiterhelfen kann zu verstehen, was die folgende Definition einer Bézierfläche wirklich bedeutet:

$$ c(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m P_{i,j} B_i(u) B_j(v) $$

Du hast den Wikipedia-Artikel verlinkt, der aber eine ganz andere Definition zeigt.

Du meinst:

$$ c(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m B_i^n(u) B_j^m(v) K_{i,j} $$

Ich hatte bei meiner Definition im Gegensatz zu dieser hier vergessen die Variablen für die Endwerte der Indizes bei den Basisfunktionen nochmals explizit anzugeben. Davon abgesehen ist die Reihenfolge der Faktoren ja egal und $$ K $$ ist nur ein anderer Bezeichner als $$ P $$.

Zum Verständnis der Formel wäre es wichtig, zuerst einmal zu wissen, was genau die verwendeten Faktoren $$ P_{i,j} B_i(u) B_j(v) $$ sind, also ggf. wie sie definiert sind.

$$ P $$ beziehungsweise $$ K $$ steht für einen Kontrollpunkt, also einen Skalar, und $$ B $$ sind Bernsteinpolynome, mit denen die Kontrollpunkte der Kurve oder Fläche gewichtet werden, also ihr Einfluss auf den Kurvenverlauf bestimmt wird.

Ich habe also das doppelte Summenzeichen gewissermaßen als Summe der Summen betrachtet.

Auch das ist soweit vollkommen richtig; alternative Definitionen wären mir nicht bekannt.

Vielen Dank für die Klarstellung!

Ich bin ziemlich sicher, dass das Problem hier nicht direkt bei $$ \sum\sum $$ liegt, sondern dass das offenbar falsche Ergebnis andere Ursachen hat (die es natürlich noch zu finden gilt).

Mit dieser Einschätzung dürftest du richtig liegen:

Nachdem mangelndes Verständnis der Definition von euch als Grund ausgeschlossen wurde, habe ich mir meinen Algorithmus nochmal angeschaut und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass eigentlich die Parameter $$ u $$ und $$ v $$ die Fehlerquelle waren…

Grüße und hoffe mindestens etwas geholfen zu haben

Hast du! Da ich nirgendwo eine verständliche Erklärung der Definition gefunden habe, bin ich irgendwie intuitiv davon ausgegangen, dass ich an dieser Stelle etwas falsch verstanden haben muss. Dass ich mit meiner Interpretation richtig gelegen haben könnte kam mir gar nicht in den Sinn, zumal alles andere wenigstens auf den ersten Blick richtig aussah. Aber eben nicht war, wie sich jetzt herausgestellt hat.

Ich stehe in Mathematik knapp vor dem ersten Staatsexamen.

Viel Glück dabei, Und nochmals Dank und Gruß!

[Gunnar Bittersmann]

@@Kapiertnix

Ich habe also das doppelte Summenzeichen gewissermaßen als Summe der Summen betrachtet.

Allerdings war diese Betrachtungsweise mit Blick auf die erhaltenen Ergebnisse offenbar falsch

Wie kommst du darauf?

weshalb ich mich (und hiermit euch) frage, was diese kryptische Formel denn nun tatsächlich zu bedeuten hat.

Genau das was du dachtest.

$$ c(u,v) = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^m P_{i,j} B_i(u) B_j(v) = P_{0,0} B_0(u) B_0(v) + P_{0,1} B_0(u) B_1(v) + \ldots + P_{0,m} B_0(u) B_m(v) + P_{1,0} B_1(u) B_0(v) + \ldots + P_{n,m} B_n(u) B_m(v) $$

LLAP 🖖

[Kapiertnix]

Hallo Gunnar Bittersmann

Ich habe also das doppelte Summenzeichen gewissermaßen als Summe der Summen betrachtet.

Allerdings war diese Betrachtungsweise mit Blick auf die erhaltenen Ergebnisse offenbar falsch

Wie kommst du darauf?

Weil ich irrigerweise davon ausging, sonst alles richtig gemacht zu haben.

weshalb ich mich (und hiermit euch) frage, was diese kryptische Formel denn nun tatsächlich zu bedeuten hat.

Genau das was du dachtest.

Danke auch dir für die Klarstellung!