Mathematik zum langen Wochenende - Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Es gab übrigens wie immer mehrere Lösungswege, vielleicht veröffentlichen ja die Autoren ihre auch.

Da werd ich mich mal nicht lumpen lassen.

Nach dem Teilen der Strecke (deren Länge 1 war) suche ich mir das längte Teil raus. Dessen Länge a ist mindestens 1/3 (ansonsten wäre ja ein anderer Teil länger).

Damit aus den Teilen ein Dreieck wird, muss die Dreiecksungleichung erfüllt werden. Damit darf kein Teil länger als oder gleich 1/2 sein.

Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit von a < 1/2 unter der Bedingung 1/3 ≤ a < 1. Mal kurz auf den Zahlenstrahl gekuckt:

|    |    |====|----|----|----|
0   1/6  1/3  1/2  2/3  5/6   1

Der mögliche Bereich für a (1/3 ≤ a < 1) ist 4 Teilstrecken (der Länge 1/6) lang; der günstige Bereich (1/3 ≤ a < 1/2) ist 1 Teilstrecke lang. Das Verhältnis der beiden von 1/4 ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Oder mit Bayes:

$$P \left( a < \tfrac{1}{2} , \Big| , \tfrac{1}{3} \le a < 1 \right) = \frac { P \left( \tfrac{1}{3} \le a < \tfrac{1}{2} \right) } { P \left( \tfrac{1}{3} \le a < 1 \right) } = \frac { \tfrac{1}{6} } { \tfrac{2}{3} } = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{4}$$

LLAP 🖖