Nochmal das reguläre Achteck

[ottogal]

Die Diagonalen AD und BG schneiden sich in K. Der Kreis um K durch C schneidet die Gerade AB in S.

Zu beweisen ist: B teilt die Strecke AS im Goldenen Schnitt.

Viel Vergnügen!

ottogal

Hinweise:

1. Man kommt nicht umhin, mit Wurzeln zu rechnen.

2. Zum Goldenen Schnitt gibt es unzählige Quellen im Web.

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Hinweise:

1. Man kommt nicht umhin, mit Wurzeln zu rechnen.

Doch, das kommt man.

Edit: Grmpf, √2 hab ich noch drin: zwei davon, die sich dann zu 2 multiplizieren. Aber keine anderen Wurzeln.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Hinweise:

1. Man kommt nicht umhin, mit Wurzeln zu rechnen.

Doch, das kommt man.

Edit: Grmpf, √2 hab ich noch drin: zwei davon, die sich dann zu 2 multiplizieren. Aber keine anderen Wurzeln.

So, die wären dann auch weg. Es geht komplett ohne Wurzeln. Sag ich doch.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

So, die wären dann auch weg. Es geht komplett ohne Wurzeln. Sag ich doch.

Hätte mich auch gewundert.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

So, die wären dann auch weg. Es geht komplett ohne Wurzeln. Sag ich doch.

Und zwar so:

Sei a = AB = BC die Seitenlänge das Achtecks; b = KA = KB wie in meiner nicht so einfachen Lösung im anderen Thread. Der Radius des Kreises sei r = KC = KS; der Streckenabschnitt x = BS.

Pythagoras im Dreieck BAK: a² = 2b², also b² = ½a² (1)

Pythagoras im Dreieck KCB: r² = a² + b² = ³⁄₂a² (2)

Cosinussatz im Dreieck KSB: r² = b² + x² − 2bx cos 135°

Jetzt könnten wir b = ½a√2 und cos 135° = −½√2 einsetzen und kämen direkt zu (4), aber wir wollen ja keine Wurzeln.

Also anders: cos 135° = −cos (180° − 135°) = −cos 45°, somit r² = b² + x² + 2bx cos 45° (3)

Cosinussatz im Dreieck BAK, diesmal nicht für den rechten Winkel (Pythagoras ist ja ein Spezialfall des Cosinussatzes), sondern für einen der anderen: b² = a² + b² − 2ab cos 45°, somit a² = 2ab cos 45°, also 2b cos 45° = a

Das in (3) eingesetzt: r² = b² + x² + ax (4); mit (1) und (2): ³⁄₂a² = ½a² + x² + ax, also a² = x² + ax

Geteilt durch ax ergibt: a : x = (x + a) : a. Da isser, der goldene Schnitt.

LLAP 🖖

[ottogal]

Hallo Gunnar,

schön gemacht. Konsequentes Beibehalten der Variablen vermeidet die Wurzeln - pfiffig. (Ich hatte oBdA b = 1 angenommen und hinfort mit Wurzeln zu rechnen, x als einzige Variable.)

Die Herleitung von 2b cos 45° = a kann man einfacher ohne Bemühung des Cosinus-Satzes bekommen: Verdoppelt man das Dreieck BAK, ist es schlicht die Definition des Cosinus.

Hier noch meine Lösung (freilich mit Wurzeln):

OBdA sei KB = 1. Mit Pythagoras folgt AB = √2 und KC = √3.

Seien U und V die Endpunkte des horizontalen Kreisdurchmessers.

Es gilt der Sehnensatz: BS·BT = BU·BV (als Folge der Ähnlichkeit der Dreiecke BSV und BUT), d.h. x·(x+√2) = (√3+1)·(√3-1)

Das ergibt die quadratische Gleichung x² + √2x - 2 = 0; deren postive Lösung ist x = (√5-1)/√2.

Daraus folgt AS/AB = (x+√2)/√2 = x/√2 + 1 = (√5-1)/2 + 1 = (√5+1)/2, das ist die "Goldene Zahl".

Viele Grüße

ottogal

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

schön gemacht. Konsequentes Beibehalten der Variablen vermeidet die Wurzeln - pfiffig.

Jetzt kann ich’s ja sagen. ;-) Mein erster Gedanke war auch: Klar braucht man Wurzeln, in der Goldenen Zahl steckt ja √5 drin.

Der Trick war zu erkennen, dass man die Goldene Zahl gar nicht braucht.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@ottogal

Die Herleitung von 2b cos 45° = a kann man einfacher ohne Bemühung des Cosinus-Satzes bekommen: Verdoppelt man das Dreieck BAK, ist es schlicht die Definition des Cosinus.

Man muss das Dreieck gar nicht verdoppeln. In BAK: cos 45° = b / a

Das eingesetzt: r² = b² + x² + 2bx cos 45° = b² + x² + 2b²x / a

Mit b² = ½a² erhält man ebenfalls: r² = b² + x² + 2 · ½a²x / a = b² + x² + ax

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Der vereinfachte Lösungsweg sieht dann so aus:

Sei a = AB = BC die Seitenlänge das Achtecks; b = KA = KB wie in meiner nicht so einfachen Lösung im anderen Thread. Der Radius des Kreises sei r = KC = KS; der Streckenabschnitt x = BS.

Pythagoras im Dreieck BAK: a² = 2b², also b² = ½a² (1)

Pythagoras im Dreieck KCB: r² = a² + b² = ³⁄₂a² (2)

Cosinussatz im Dreieck KSB: r² = b² + x² − 2bx cos 135°

Es ist cos 135° = −cos (180° − 135°) = −cos 45°, somit r² = b² + x² + 2bx cos 45° (3)

Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse im Dreieck BAK: cos 45° = b / a

Das in (3) eingesetzt: r² = b² + x² + 2b²x / a; mit (1) und (2): ³⁄₂a² = ½a² + x² + 2 · ½a²x / a, also a² = x² + ax

Geteilt durch ax ergibt: a : x = (x + a) : a. Da isser, der goldene Schnitt.

LLAP 🖖

[ottogal]

Beim Stöbern im Netz nach dem Goldenen Schnitt fand ich - neben meist weniger Originellem - diesen Artikel von Niemeyer/Walser.

Die darin aufgezeigte Unabhängigkeit von der Höhe h des Kreismittelpunkts über der Geraden lässt sich schön in meiner Geogebra-Zeichnung beobachten: Bewegt man den Kreismittelpunkt auf der vertikalen Achse, so ändern sich die Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden nicht. Und man kann sich die im Artikel genannten Spezialfälle ansehen. (Die violette Strecke ist der Major, eine der magenta-farbenen Strecken der Minor des Goldenen Schnitts.)

Edit: Man liegt nicht falsch, wenn man vermutet, dass die Idee zu meiner Achtecks-Aufgabe auf den genannten Artikel zurückgeht.