Gunnar Bittersmann: Mathematik zur Wochenmitte

Jetzt aber: die versprochene Aufgabe von Catriona Shearer.

Skizze

Die drei sich überlappenden Rechtecke sind kongruent und haben jeweils den Flächeninhalt 4. Die markierten Punkte sind die Mittelpunkte der kürzeren Seiten. Wie groß ist der von dieser Figur abgedeckte Flächeninhalt?

LLAP 🖖

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„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
  1. Hallo Gunnar Bittersmann,

    Skizze

    Die drei sich überlappenden Rechtecke sind kongruent und haben jeweils den Flächeninhalt 4. Die markierten Punkte sind die Mittelpunkte der kürzeren Seiten. Wie groß ist der von dieser Figur abgedeckte Flächeninhalt?

    Mir scheint, da fehlt noch was. Schneiden sich die drei Rechtecksseiten in genau einem Punkt?

    Bis demnächst
    Matthias

    --
    Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
    1. Hallo,

      Mir scheint, da fehlt noch was. Schneiden sich die drei Rechtecksseiten in genau einem Punkt?

      Catriona Shearer tweeetete:

      That is required - it’s not stated but hopefully obvious from the diagram

      Gruß
      Kalk

    2. @@Matthias Apsel

      Mir scheint, da fehlt noch was. Schneiden sich die drei Rechtecksseiten in genau einem Punkt?

      Ja, das ist wohl im Sinne der Aufgabe.

      Ich hatte das erst übersehen und drauflosgerechnet … Könnt Ihr auch gerne als Zusatzaufgabe machen. (Da sollte dann sowas wie das Seitenverhältnis als Parameter im Ergebnis vorkommen.)

      LLAP 🖖

      --
      „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
      1. Hallo Gunnar,

        Könnt Ihr auch gerne als Zusatzaufgabe machen.

        Das wird aber in Arbeit ausarten, ich identifiziere 5 Varianten mit eigenen Rechenwegen

        Catrionas Aufgabe (oben mitte) sollte ein Sonderfall von oben links oder oben rechts sein.

        Rolf

        --
        sumpsi - posui - clusi
        1. Hallo,

          ich identifiziere 5 Varianten mit eigenen Rechenwegen

          Die untere Reihe gilt nicht. Aufgabe nicht gelesen?

          Gruß
          Kalk

          1. Hallo Tabellenkalk,

            was habe ich überlesen? Es geht ja um Gunnars Zusatzaufgabe, bei der der Schnitt dreier Rechteckseiten im Zentrum aufgehoben ist.

            Catrionas Aufgabe ist nur die oben in der Mitte, und die ist nach kurzem Nachdenken trivial.

            Rolf

            --
            sumpsi - posui - clusi
            1. Hallo,

              was habe ich überlesen?

              Das mit der kurzen Seite.

              Es geht ja um Gunnars Zusatzaufgabe, bei der der Schnitt dreier Rechteckseiten im Zentrum aufgehoben ist.

              Von der kurzen Seite hat Gunnar gar nicht gesprochen.

              Gruß
              Kalk

              1. Hallo Tabellenkalk,

                ok, einverstanden. Aber berechenbar sind die Fälle trotzdem :)

                Rolf

                --
                sumpsi - posui - clusi
                1. Hallo,

                  Aber berechenbar sind die Fälle trotzdem :)

                  berechenbar ist Vieles… 😉

                  @Gunnar Bittersmann: Drauflosrechnen führt meistens zum Ergebnis für eine nichtgestellte Aufgabe!

                  Gruß
                  Kalk

                  1. @@Tabellenkalk

                    Drauflosrechnen führt meistens zum Ergebnis für eine nichtgestellte Aufgabe!

                    „Richtige Antwort, Hoëcker. Nur auf eine völlig andere Frage.“

                    LLAP 🖖

                    --
                    „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
                    1. Hallo,

                      „Richtige Antwort, Hoëcker. Nur auf eine völlig andere Frage.“

                      Wieso DAS denn?

                      Gruß
                      Kalk

            2. Hallo Rolf B,

              Catrionas Aufgabe ist nur die oben in der Mitte, und die ist nach kurzem Nachdenken trivial.

              Ja, und ich wollte so gern wissen, wie groß die Seiten sind. 😂

              Bis demnächst
              Matthias

              --
              Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
              1. Hallo Matthias,

                kann ich Dir sagen:

                $$a = \frac{2}{\sqrt {\tan{30^\circ} }} = 2 \sqrt[4]{3}\ b = \frac 4 a$$

                Urgh, ist das klein. a ist zweimal die vierte Wurzel von drei.

                Rolf

                --
                sumpsi - posui - clusi
  2. @@Gunnar Bittersmann

    Wenn man nicht übersieht, dass sich die „inneren“ Rechteckseiten in einem Punkt schneiden, war die Aufgabe nicht allzu schwer. Niemand (außer mir 😆) hat sich da aufs Glatteis führen lassen und mit Wurzeln oder sowas rumgerechnet.

    Skizze

    Von den 3 Rechteckflächen Aᵣ muss man 6 rechtwinklige Dreiecke abziehen, deren Flächeninhalt ⅛Aᵣ beträgt. 3Aᵣ − ⁶⁄₈Aᵣ = 2¼Aᵣ = 9.

    Die meisten haben’s mit Mythologie und mir noch ein Märchen mit Drachen erzählt.

    @ottogal hat auch den allgemeinen Fall durchgerechnet, d.h. beide Fälle. Mit Seitenlängen[1] a ≥ b

    $$A = \begin{cases} 3ab - \frac{3}{4}b^2 \sqrt{3}, & \text{wenn }a ≥ b \sqrt{3}
    \frac{3}{2}ab + \frac{1}{4}a^2 \sqrt{3}, & \text{wenn }b ≤ a < b \sqrt{3} \end{cases}$$

    (Für a = b√3 kommt beides aufs selbe raus, d.h. die Funktion A(ab) ist stetig. Ottogal hat auch noch gezeigt, dass sie an der Übergangsstelle keinen Knicks macht, also stetig differenzierbar ist.)

    LLAP 🖖

    --
    „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann

    1. Ich habe die Variablen etwas umbenannt. ↩︎

    1. Hallo alle,

      Skizze

      In welchem Verhältnis müssen die Seitenlängen der Rechtecke stehen, damit man sie überhaupt wie gefordert übereinanderlegen kann?

      Bis demnächst
      Matthias

      --
      Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
      1. @@Matthias Apsel

        In welchem Verhältnis müssen die Seitenlängen der Rechtecke stehen, damit man sie überhaupt wie gefordert übereinanderlegen kann?

        Ist die Frage nicht durch das Posting beantwortet, auf das du geantwortet hast?

        LLAP 🖖

        --
        „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
        1. Hallo Gunnar Bittersmann,

          In welchem Verhältnis müssen die Seitenlängen der Rechtecke stehen, damit man sie überhaupt wie gefordert übereinanderlegen kann?

          Ist die Frage nicht durch das Posting beantwortet, auf das du geantwortet hast?

          Ist sie, nur nicht in schön. Ich war überrascht, wie einfach das geht.

          Bis demnächst
          Matthias

          --
          Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
          1. @@Matthias Apsel

            Ich war überrascht, wie einfach das geht.

            Die Hälfte der kurzen Seite b ist gleich dem Inkreisradius (gleich einem Drittel der Höhe) im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a. Oder geht’s noch einfacher?

            LLAP 🖖

            --
            „Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
            1. Hallo Gunnar Bittersmann,

              Die Hälfte der kurzen Seite b ist gleich dem Inkreisradius (gleich einem Drittel der Höhe) im gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a.

              Das war meine erste Idee.

              Oder geht’s noch einfacher?

              Wesentlich. Vor allem, wenn nach dem Seitenverhältnis gefragt ist.

              Bis demnächst
              Matthias

              --
              Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
              1. @@Matthias Apsel

                Oder geht’s noch einfacher?

                Wesentlich. Vor allem, wenn nach dem Seitenverhältnis gefragt ist.

                Hm, Pythagoras? b² = ⅓a²

                Oder geht’s noch einfacher?

                LLAP 🖖

                --
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                1. Hallo Gunnar Bittersmann,

                  Oder geht’s noch einfacher?

                  3_ab_ = _a_²√3

                  Bis demnächst
                  Matthias

                  --
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                  1. Hallo Matthias Apsel,

                    3_ab_ = _a_²√3

                    Begründung:

                    Klappt man die „Überlappungen“ nach außen, so entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2_a_. Dies ist flächengleich den drei Rechtecken.

                    Aus 3_ab_ = _a_²√3 folgt dann unmittelbar a : b = √3 : 1 oder _a_² : _b_² = 3 : 1.

                    Bis demnächst
                    Matthias

                    --
                    Pantoffeltierchen haben keine Hobbys.
    2. @ottogal hat auch den allgemeinen Fall durchgerechnet, d.h. beide Fälle. Mit Seitenlängen[1] a ≥ b

      $$A = \begin{cases} 3ab - \frac{3}{4}b^2 \sqrt{3}, & \text{wenn }a ≥ b \sqrt{3}
      \frac{3}{2}ab + \frac{1}{4}a^2 \sqrt{3}, & \text{wenn }b ≤ a < b \sqrt{3} \end{cases}$$

      (Für a = b√3 kommt beides aufs selbe raus, d.h. die Funktion A(ab) ist stetig. Ottogal hat auch noch gezeigt, dass sie an der Übergangsstelle keinen Knicks macht, also stetig differenzierbar ist.)

      Genauer: Die bei konstantem $$b$$ definierte Funktion

      $$A(a) = \begin{cases} 3ab - \frac{3}{4}b^2 \sqrt{3}, & \text{wenn }a ≥ b \sqrt{3}
      \frac{3}{2}ab + \frac{1}{4}a^2 \sqrt{3}, & \text{wenn }b ≤ a < b \sqrt{3} \end{cases}$$

      ist an der Übergangsstelle $$b \sqrt{3}$$ stetig und differenzierbar (nach $$a$$).

      (Bem.: Die folgende Fußnote gehört eigentlich zum Zitat.)


      1. Ich habe die Variablen etwas umbenannt. ↩︎