Mathematik zum Wochenanfang – Lösung

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Finde alle ganzen Zahlen n, für die n³ − 7n + 9 prim ist.

Zunächst ist die Erkenntnis hilfreich, dass n³ − 7n + 9 für alle ganzzahligen n durch 3 teilbar ist.

Beweis durch vollständige Induktion: Für n = 0 ist n³ − 7n + 9 = 9 durch 3 teilbar.

Wenn n³ − 7n + 9 durch 3 teilbar ist, dann ist auch (n + 1)³ − 7(n + 1) + 9 durch 3 teilbar, denn:
(n + 1)³ − 7(n + 1) + 9 = n³ + 3n² + 3n + 1 − 7n − 7 + 9 = n³ − 7n + 9 + 3n² + 3n − 6
und sowohl n³ − 7n + 9 als auch 3n² + 3n − 6 sind durch 3 teilbar.

Haben wir nun gezeigt, dass n³ − 7n + 9 für alle ganzzahligen n durch 3 teilbar ist? Nei-en! Wir haben das für alle nichtnegativen ganzzahligen n gezeigt. Fehlen noch die negativen! Also den Induktionsschritt noch mal für (n − 1)³ − 7(n − 1) + 9.

Oder gleich so:
(n ± 1)³ − 7(n ± 1) + 9 = n³ ± 3n² + 3n ± 1 − 7n ∓ 7 + 9 = n³ − 7n + 9 ± 3n² + 3n ∓ 6 ist durch 3 teilbar, weil sowohl n³ − 7n + 9 als auch ±3n² + 3n ∓ 6 durch 3 teilbar sind.

Wenn nun eine durch 3 teilbare Zahl prim sein soll, dann muss es die 3 selbst sein: n³ − 7n + 9 = 3, also n³ − 7n + 6 = 0.

Durch Probieren findet man n₁ = 1. Polynomdivision durch n − 1 ergibt n² + n − 6 = (n − 2)(n + 3). n₂ = 2; n₃ = −3.

(Man könnte nun vielleicht auch argumentieren, dass n³ − 7n + 9 auch −3 sein dürfte. n³ − 7n + 12 = 0 hat aber keine ganzzahligen Lösungen.)

1, 2 und −3 sind die einzigen ganzen Zahlen, für die n³ − 7n + 9 prim ist.

LLAP 🖖