Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Hat schon einer die Hausaufgabe fürs Wochenende gestellt? Ich hätte da eine (wieder mal via @⁠Five_Triangles):

Würfel ABCDEFGH mit Kantenlänge 8 cm. I, J, K, L Mittelpunkte der Kanten AD, EH, FG, BC. P ein Punkt auf AEFB und Q ein Punkt auf DHGC. M der Mittelpunkt von PQ; liegt also in der Ebene IJKL. (Abbildung 1)

Wenn P beweglich ist, aber festen Abstand von 8 cm zu E hat, und Q beweglich ist, aber festen Abstand von 8 cm zu G hat, in welchem Bereich des Quadrats IJKL kann M dann liegen? Zeichne den Bereich in Abbildung 2 ein und bestimme seinen Flächeninhalt!

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Das gibt mal ein +1 von mir. Ich finde die Aufgabe spannend.

Bis demnächst
Matthias

[ottogal]

Ja, viel spannender als die vom letzten Mal...

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Wo nun schon das übernächste Wochenende ansteht, wird’s mal Zeit für die Lösung. Oder erstmal meinen Lösungsversuch, den ich euch nicht vorenthalten möchte:

Zunächst einmal lässt sich das Problem von 3D auf 2D reduzieren – auf die Ebene IJKL (in der auch M liegt). Die Projektionen von P und Q auf diese Ebene liegen auf Kreisbögen um J bzw. K mit dem Radius einer Kantenlänge a des Quadrats IJKL.

Dann hatte ich mir die Extreme für einen Punkt rausgepickt: Wenn Q in J liegt und P seinen Viertelkreisbogen durchwandert, dann beschreibt M einen Viertelkreis um J mit dem Radius ½a. Wenn Q in L liegt und P seinen Viertelkreisbogen durchwandert, dann beschreibt M einen Viertelkreis um den Mittelpunkt des Quadrats mit dem Radius ½a.

Die Fläche, die M überstreichen kann, sollte also aussehen – dachte ich:

Bis die erste Lösung eines anderen bei mir eintraf. Ja natürlich! Da hätte ich Trottel auch durch zwei Sekunden Nachdenken drauf kommen können. Das kann ja gar nicht stimmen! Warum nicht?

Sehen wir und die Aufgabe nochmal an:

Die Aufgabe ist symmetrisch bezüglich der eingezeichneten Achse. Also muss auch die Lösung dazu symmetrisch sein.

(Diese Erkenntnis ist es, warum ich meinen Irrweg hier aufschrieb.)

Man muss obige Überlegung auch noch für P anstellen und Q seinen Viertelkreisbogen durchlaufen lassen:

Die Lösung ergibt sich aus dem Durchschnitt beider Mengen:

@ottogal hat das mit GeoGebra sehr schön visualisiert: in 3D • mit Spur und Animation • in 2D.

Zur Flächenberechnung nun nicht irgendwas mit π rummachen, sondern erstmal hinschauen: die Viertelkreise aus der oberen Hälfte passen genau in die weißen Flächen in der unteren Hälfte. Die schraffierte Fläche bedeckt also die Hälfte des Quadrats. Für a = 8 cm ist sie also ½a² = 32 cm².

LLAP 🖖

[ottogal]

Hallo Gunnar,

es ist immer interessant, einen Irrweg und den schließlichen Aha-Moment nachzuvollziehen.

Deine Betrachtung der beiden Extremfälle - Q fixiert in H (bzw. J), Q fixiert in C (bzw. L) ergeben freilich nur die beiden Kreisbögen in deiner zweiten Zeichnung. Dein Schluss, dass bei voller Variation von Q der von dir schraffierte Bereich erfasst würde, ist nicht gerechtfertigt. Dass seine Schnittmenge mit dem dazu gespiegelten Bereich mit der tatsächlichen Lösung übereinstimmt, ist Zufall.

Man kann sich anhand meiner GeoGebra-Darstellungen davon überzeugen, dass auch schon bei in der linken unteren Ecke fixiertem Q nur der Bereich überstrichen wird, der auch der Gesamt-Lösung entspricht. (Deine Symmetrieüberlegung ergibt also in Wahrheit die Schnittmenge dieses Bereichs mit sich selbst.)

Viele Grüße

ottogal

P.S. Ich könnte immer wieder ins Schwärmen kommen, was für ein tolles Tool GeoGebra ist...

[ottogal]

Zum Weitertüfteln noch ein paar Variationen der Aufgabe:

Gleiche Fragestellung, aber geänderte Bedingungen für die Punkte P und Q.

(R sei der Mittelpunkt der Würfel-Kante [AE], S der Mittelpunkt der Würfel-Kante [CG].)

Variante 1: P soll festen Abstand von 8 cm zu E haben, Q soll festen Abstand von 8 cm zu C haben.

Variante 2: P soll festen Abstand von 4 cm zu R haben, Q soll festen Abstand von 4 cm zu S haben.

Variante 3: P soll festen Abstand von 8 cm zu E haben, Q soll festen Abstand von 4 cm zu S haben.