Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Das könnte eine nette Aufgabe sein (wieder mal eine von @Five_Triangles):

Rechte Winkel bei B und D, AD = CD, BC = 10cm, Fläche des Vierecks ABCD ist 64cm². Wie groß ist AB?

Mit Pythagoras ist das schnell gemacht. Die Aufgabe ist aber, es ohne Pythagoras zu tun.

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

Das könnte eine nette Aufgabe sein (wieder mal eine von @Five_Triangles):

Rechte Winkel bei B und D, AD = CD, BC = 10cm, Fläche des Vierecks ABCD ist 64cm². Wie groß ist AB?

Mit Pythagoras ist das schnell gemacht. Die Aufgabe ist aber, es ohne Pythagoras zu tun.

Die Fläche bildet annähernd ein Rechteck. 64 ÷ 10 ergibt gerundet 6 für AB.

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

Ohne Pythagoras - das mag schwierig werden. Viele Formeln, die man hier anwenden könnte, dürften via Pythagoras hergeleitet sein, und damit fallen sie auch weg.

Rolf

[Rolf B]

Hallo Gunnar,

This is simple to solve with "advanced" methods like Pythagoras' thm, but can it be solved without?

Wie muss man das eigentlich lesen? Hat △△△△△ eine Lösung und wir sollen sie suchen? Oder weiß der Aufgabensteller selbst nicht ob es geht und schickt uns ggf. auf eine vergebliche Suche?

Oder anders formuliert: Wenn eine Lösung bekannt ist, dann kann man die Aufgabe als "jeder gegen jeden" ansehen und im stillen Kämmerlein tüfteln. Wenn nicht, kann ein Teilen von Zwischenschritten interessant sein.

Rolf

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Wie muss man das eigentlich lesen? Hat △△△△△ eine Lösung und wir sollen sie suchen? Oder weiß der Aufgabensteller selbst nicht ob es geht und schickt uns ggf. auf eine vergebliche Suche?

Wenn ich das wüsste … Ich hab auch noch keine Lösung.

LLAP 🖖

[encoder]

Ich denke auch immer wieder mal drüber nach, aufgrund von Festen und Fußball wohl noch nicht lange genug :-)
Du kannst ja noch ein Mathe der Woche draus machen und es vorerst nicht auflösen, vielleicht kommt ja noch jemand von selbst drauf.

[Rolf B]

Ich werfe mal einen Haufen unausgegorenes in die Runde… (Geogebra Link)

Wenn man den Punkt E hinzufügt, erhält man zwei Dreiecke FCE und AFD^[1]. Die sind ähnlich, und es ist so, dass sich die Fläche von ABCD aus (ABCE - FCE + AFD) errechnet. Ähnlich sind auch FED und BDA (folgt aus der Ähnlichkeit von FCE und AED).

Der Winkel CBD ist 45°, egal wo A liegt. Wenn ich A auf der y-Achse verschiebe, bewegt sich D, aber immer nur auf der 1. Winkelhalbierenden. Dafür gibt's sicher einen Beweis, ich habe ihn nur noch nicht.

Wenn man das Größenverhältnis der ähnlichen Dreiecke aus der y-Koordinate von A ableiten könnte, wäre das vielleicht ein Weg. Bisher habe ich noch keine Idee dazu.

Rolf

---

1. Korrigiert nach Hinweis durch Tabellenkalk ↩︎

[Tabellenkalk]

Hallo,

Wenn man den Punkt E hinzufügt, erhält man zwei Dreiecke FCE und AED. Die sind ähnlich,

Das stimmt nicht. Verutlich ist AFD gemeint.

Der Winkel CBD ist 45°, egal wo A liegt. Wenn ich A auf der y-Achse verschiebe, bewegt sich D, aber immer nur auf der 1. Winkelhalbierenden. Dafür gibt's sicher einen Beweis, ich habe ihn nur noch nicht.

Hilft das Lot von D auf BC?

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

ja. Jetzt habe ich die Lösung.

Hattest Du sie bereits, als Du mir diesen Stups gegeben hast? Oder war das einfach eine Vermutung von Dir?

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Hattest Du sie bereits, als Du mir diesen Stups gegeben hast? Oder war das einfach eine Vermutung von Dir?

Habe eine Lösung, bei der mir nicht sicher bin, ob sie mathematisch komplett ist. Dein Hinweis auf die 45° ist ein weiterer Baustein...

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Rolf B

Der Winkel CBD ist 45°, egal wo A liegt. Wenn ich A auf der y-Achse verschiebe, bewegt sich D, aber immer nur auf der 1. Winkelhalbierenden. Dafür gibt's sicher einen Beweis, ich habe ihn nur noch nicht.

Hat ’ne Weile gedauert, dann fiel es ihm wie Schuppen von den Augen:

Wegen der rechten Winkel liegen B und D auf dem Thaleskreis über AC; ABCD ist ein Sehnenviereck.

Wegen AD = CD ist ∠CAD = 45°

∠CAD und ∠CBD sind Peripheriewinkel über CD, also gleich groß.

LLAP 🖖

[Tabellenkalk]

Hallo,

∠CAD und ∠CBD sind Peripheriewinkel über CD, also gleich groß.

Dann ham'mers…

Gruß
Kalk

[Rolf B]

Hallo Tabellenkalk,

ich hatte andere 45% und damit argumentiert. Geht auch.

Dass es sich um ein Sehnenviereck handelt, hatte ich gesehen, aber keine brauchbare Nutzung erkannt. Die Peripheriewinkel sind eine 😀

Dann habe ich gerade noch mal in den Twitterkanal geschaut - die Antwort von Mathmorphosis ist beschämend einfach. Wieso hab ich das nicht gesehen?? Er hätte allerdings die Kongruenz noch begründen können.

Ignacio Larrosa dagegen hat "Kein Pythagoras" offenbar überlesen.

Rolf

[Tabellenkalk]

Hallo,

Dann habe ich gerade noch mal in den Twitterkanal geschaut - die Antwort von Mathmorphosis ist beschämend einfach.

Hey, das ist meine Lösung!!elf

Wieso hab ich das nicht gesehen??

Falshe Brille?

Er hätte allerdings die Kongruenz noch begründen können.

Mein Reden. Wer sagt denn, dass nach dem Umklappen die drei Punkte auf einer Graden liegen? Dafür brauchts die 45°.

Gruß
Kalk

[Tabellenkalk]

Hallo,

Hey, das ist meine Lösung!!elf

Natürlich nicht die mit der Näherung, sondern die die Gunnar per pm von mit bekam…

Gruß
Kalk

[Gunnar Bittersmann]

@@Tabellenkalk

Dann habe ich gerade noch mal in den Twitterkanal geschaut - die Antwort von Mathmorphosis ist beschämend einfach.

Wieso hab ich das nicht gesehen??

Wenn’s dich tröstet: Ich auch nicht. Meh.

Den Kreis einzuzeichnen war dann doch keine so gute Idee; der lenkt nur ab.

Er hätte allerdings die Kongruenz noch begründen können.

Mein Reden. Wer sagt denn, dass nach dem Umklappen die drei Punkte auf einer Graden liegen? Dafür brauchts die 45°.

Nein, überhaupt nicht.

E Fußpunkt des Lotes von D auf BC, F Fußpunkt des Lotes von D auf AB, also ∠CED = ∠AFD = 1∟.

∠ADC = 1∟ gegeben, damit ∠EDC = ∠ADC − ∠ADE = 1∟ − ∠ADE.

Wegen AB ⟂ BC ist auch DE ⟂ DF, damit ∠FDA = ∠FDE − ∠ADE = 1∟ − ∠ADE; d.h. ∠EDC = ∠FDA.

Außerdem DC = DA (gegeben), damit △ECD ≅ △FAD nach WSW.

Daraus folgt EC = FA und DE = DF.

Wegen letzterem und der rechten Winkel ist BEDF ein Quadrat, flächengleich zu ABCD 64cm², demzufolge DE = DF = FB = BE = 8cm.

BC = 10cm (gegeben), FA = EC = BC − BE = 10cm − 8cm = 2cm.

AB = FB − FA = 8cm − 2cm = 6cm.

LLAP 🖖